¿Quién paga la IT tras un despido improcedente?

Haces varias preguntas:
1º Una vez dado de baja en la empresa es la mutua que te sigue pagando, una vez dado de baja te tendrás que trasladar a la oficina más cercana a tu domicilio y solicitar el pago de la prestación hasta su agotamiento.
2º No obstante tienes 15 días a partir del final de los días que te queden de vacaciones para pasar por el INEM e incribirte. Primero en la comunidad autónoma como parado para que te busque empleo y después en el INEM para el cobro de la prestación una vez finalizado la enfermedad.
No obstante si tu baja fuera muy prolongada podrías pedir baja por larga enfermedad, pero eso lo tendrías que hablar con tu medico
Lo de la empresa es solo para la estimación de gastos de la misma, pero no implica nada respecto a ti. Es que tu baja se la siguen aplicando a la misma, pero tú pasas al paro.

Verás: de mi baja siempre ha llevado seguimiento la SS; en ningún momento me la llamado la mutua ni para echar un vistazo a lo que me pasaba.
El INSS me ha ampliado la baja por 6 meses (es decir, hasta 18) porque sigo pendiente de tratamiento. Tengo un problema de 2 hernias discales con un disco roto, intervenida en enero, con infiltraciones en febrero y ahora me quieren hacer una rizolisis en octubre. Te quiero decir que no es una incapacidad, sino que puede ser lo que tu llamas "larga enfermedad", y por supuesto tienen conocimiento mi médico e inspección médica.
Si te he entendido bien, en cuanto tenga la baja en la empresa tengo que ir a una oficina de la Tesorería a indicar que he sido despedida estando de baja y que solicito el pago de la prestatación. Pero, estando de baja médica ¿puedo o debo apuntarme al INEM? ¿No será mejor esperar a tener el alta médica?. Porque sino, ¿cobraría simultáneamente la prestación de la baja por el INSS y también el paro? Es que si fuese así no me interesaría. Tengo hijos y necesito tener ingresos cuantos más meses mejor hasta encontrar nuevamente trabajo.
En cuanto a las vacaciones, digo yo que me liquidarán los días correspondientes al dejar la empresa. No te he entendido bien a qué te refieres.
Como verás, para mí todo esto es un lío, así que agradezco mucho tu ayuda.

1º Cuando eres despedido ya no puede la empresa descontar de los SS. SS. La prestación por enfermedad. Por lo que la entidad que se encarga de todo el la MUTUA, no el INS, allí es donde tienes que ir a la MUTUA, ellos te pagarán y te inscribes en el INEM, cuando termines la prestación, ellos comenzarán a pagar y en la ofcina te indicarán los trámites.
Larga enfermedad es cuando no puedes incorporarte al trabajo en un plazo razonable de tiempo, entonces pasas temporalmente al INS. El tema no es que lo sepan sino que consideren probable tu recuperación e incorporación al trabajo..
Lo de las vacaciones es si no has disfrutado todos los días que te falten los disfrutas en el paro y sin cobrar por lo que tienes que esperar a que pasen para inscribirte en el INEM, pero mientras te puedes dar de alta en el la Oficina de Empleo de tu comunidad autónoma.

Pero, como te decía, durante todo este año que llevo de baja, la mutua no se ha puesto en contacto conmigo. ¿Cómo puedo hacer para no tener problemas cuando sean ellos los que se tengan que hacer responsables de mi prestación?

Simplemente te presentas con la documentación del despido en sus oficinas y se la muestras ellos tienen la obligación de seguirte pagando, te pedirán una cuenta bancaria para hacerte los ingresos y cuando te den de alta van con el alta al INEM.
De todas formas es raro porque ellos suelen vigilar la bajas, pero no te preocupes ves allí y te dan la información, busca la ofician más cercana a tu domicilio y ves con los documentos.

Muchas gracias por tu atención. Lo haré como me indicas.
Sólo me cabe una última duda y es sobre el importe que cobraría: ¿El 75 % de mi sueldo anual entre 12, o el importe que me pagaría el INEM?
¡Gracias y buena semana!

Pues cobras exactamente lo que paga la S.S. es decir el 75% de la Base Reguladora