Derechos de un padre sobre la custodia de su hijo.

¿Puede reclamar un padre la custodia de su hijo si no puede hacerse cargo de é?
La historia es la siguiente: una pareja tiene un niño. No están casados. A los 6 meses de nacer el niño, el padre desaparece. Al tiempo vuelve sin trabajo y con graves problemas económicos: Vive en una economía sumergida, ya que tiene deudas con la Seguridad Social y no puede ser contratado. La pareja, obviamente zanja su relación y, cada uno por su lado. Él tiene que irse a vivir con un familiar a otra ciudad. Cada POR tiempo, coincidiendo con sus peores épocas, quiere ver a su hijo y para eso se desplaza a la ciudad en la que el niño vive con su madre, pero en estas visitas chantajea a la madre de su hijo y a otros familiares de ésta porque no tiene dinero para ir a ver a su hijo y éstos tienen que darle dinero para comer, para llenar el depósito de gasolina y algún otro gasto más raro. La familia de la madre del niño accede a ésto porque él es muy agresivo y amenaza con llevarse a su hijo. El caso es que este señor no colabora ni con un céntimo para la manutención de su hijo (aunque a veces lo tenga) ni tiene intención de hacerlo. Creemos que está utilizando a su hijo para sacar este provecho, mientras tanto, en ningún sitio consta que ha "abandonado" a su hijo o que la madre es la única responsable de sacar a su hijo adelante. Las preguntas son:
¿Tiene un padre derecho a llevarse a su hijo en esta situación, me refiero: sin ingresos económicos, sin hogar, etc..?
¿La madre del niño, debería exigirle al padre que firme o redacte algún documento en el que éste manifieste que no puede pasarle una pensión alimentaria a su hijo?
En cualquier caso ¿qué debería hacerse en esta situación?. Él tendrá derecho a ver a su hijo, pero no a aprovecharse de esta circunstancia.