Volumen

Volumen máximo de un cono circunscrito a una esfera
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Respuesta de Anónimo
El problema es de maximización de una función polinómica, relativamente simple de resolver. Se trata de expresar el volumen del cono en función de una sola variable (pues tan sólo hay un grado de libertad en el problema), derivar, igualar a cero y de los puntos que salen, ver cual es máximo y cual mínimo (teniendo en cuenta que la variable tendrá un rango válido, pues el cono no puede tener ángulos o dimensiones negativas).
El volumen de un cono depende de su altura y el radio de su base. Un cono genérico tiene por tanto dos grados de libertad para existir (piensa en que podrías ampliar su altura sin variar su base, o ampliar su base sin variar su altura). Sin embargo, una vez que lo circunscribes a una esfera, estas dos mangnitudes pasan a estar relacionadas (radio de la base y altura), pues si visualizas la geometría ya no te es posible modificar una sin afectar a la otra. Recuerda que el problema quiere maximizar el volumen del cono en una determinada esfera, por lo que tampoco podrás aumentar o disminuir el radio de la esfera, que hace de condición de contorno.
La fórmula del volumen del cono, que puedes hallar si quieres integrando )(1-z/h)R)^2*PI (superficies del círculo, variable con la posición z, donde h es la altura del cono y R el radio de la base), es de (PI/3)*h*R^2
Esta es la función a maximizar, una vez que halles la relación entre h y R, pues como te digo dejan de ser independientes al enganchar el cono a la esfera. Para relacionarlos puedes usar ángulos o triángulos equivalentes, es lo mismo, teniendo en cuenta una esfera de radio E (esto no es una variable!). Si lo dibujas, verás que la altura del cono y su radio guardan la misma relación que el radio con el segmento que une el final de la altura con el fin de la circunferencia, es decir (2E-h)/R = R / h. Esto es así gracias a que en el extremo de la base del cono, en el dibujo que hagas, verás que siempre hay un ángulo recto entre las dos hipotenusas de los dos triángulos que te describo. Sin dibujartelo no será fácil entender esto.
Con esta relación despeja h o R, la que quieras, y la sustituyes en el volumen. Ahí ya solo te quedará una variable, y podrás derivar en una variable, igualar a 0 y despejar. Una de las soluciones es la del mínimo, y es degenerada (=0). La otra es el máximo. Como ves es relativamente sencillo toda vez que observes en el dibujo geométrico la relación entre la altura y el radio, y seas capaz de expresarla en la ecuación.
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