Compañero, la solución de ecuaciones de tercer grado no son fáciles de explicar y a veces menos de resolver. Por lo tanto, la única solución es ver la teoría porque este tipo de ejercicios no es fácil. Revisa tu texto y ve la explicación anexa y lo entederas. Hay que practicar a fondo. Suerte y buena práctica. Saludos.
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</span><!--[endif]--><span style="font-size: 18pt;">x<sub>3</sub>
= <span id="px3">-1/2 - 1.322875656i</span></span>
Si quieres te envio la grafica de esta función por email, porque no puedo anexarla.
mancarfe@gmail.com
De Wikipedia.....
Sea K un cuerpo
conmutativo, donde se pueden extraer raíces, propiedad que hará posible resolver la ecuación.
En un cuerpo
algebraicamente cerrado, se sabe que todo
polinomio de grado 3 tiene tres raíces. Es el caso del cuerpo de los complejos, según el
Teorema Fundamental del Álgebra.
Los pasos de la resolución son:
<ul>
<li>Dividir la ecuación inicial por el coeficiente a (a ? 0). Se obtiene:</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd>
con
,
,
.</dd></dl>
</dd></dl>
<ul>
<li>Proceder al cambio de incógnita
, para suprimir el término cuadrado. En efecto, al desarrollar
con la identidad precedente, vemos aparecer el término
, compensado exactamente por
que aparece en
. Se obtiene:</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd>
, con p y q números del cuerpo.</dd></dl>
</dd></dl>
<ul>
<li>Y ahora, la astucia genial: escribir
. Así, la ecuación precedente da
.</li>
</ul>
<dl><dd>
<dl><dd>Desarrollando:
.</dd><dd>Reagrupando:
.</dd><dd>Factorizando:
.</dd></dl>
</dd><dd>Como se ha introducido una variable adicional (
u y
v en vez de
z), es posible imponerse una condición adicional. Concretamente:
<dl><dd>
, que implica
.</dd></dl>
</dd></dl>
<ul>
<li>Pongamos
y
. Entonces tenemos
y
porque
. Por lo tanto U y V son las raíces de la ecuación auxiliar
, que se sabe resolver.</li>
</ul>
Luego
y
son raíces cúbicas de
y
(que verifican
y finalmente
.
En el cuerpo
, si
y
son estas raíces cúbicas, entonces las otras son
y
, y por supuesto
y
, con
, una raíz cúbica de la unidad.
Como el producto uv está fijado
, las parejas
posibles son
,
y
.
Las otras raíces de la ecuación de tercer grado son por lo tanto
y
.
== El caso real Las primeras ecuaciones de tercer grado que se
intentó resolver fueron con coeficientes reales (de hecho: enteros). El
cuerpo de los reales no es algebraicamente cerrado, por lo tanto, el
número de raíces reales no es siempre 3. Las que faltan se encuentran
en
C, extensión algebraica cerrada de
R. La distinción aparece cuando se sacan las raíces cuadradas en el cálculo de
U y
V. Las raíces cúbicas no plantean problemas.
Se demuestra que el número de raíces reales depende del discriminante de la ecuación auxiliar
:
<ul>
<li>Si
? > 0 existe una única raíz real. Las demás son complejas conjugadas.</li>
<li>Si
? = 0 existe una raíz múltiple real: una raíz triple o una doble y otra simple, todas reales.</li>
<li>Si
? < 0 existen tres raíces reales.</li>
</ul>
Habrán notado que siempre hay por lo menos una solución real. Es
debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites
infinitos en +? y -? y las de grado impar tienen límites de signos
contrarios. Como son funciones contínuas, tienen que pasar por cero,
por el teorema de los valores intermedios.
En la figura siguiente se registra todos los casos, según los signos de a y de ?.
