Elección del notario

Bien, no tiene la mínima importancia firmar ante un Notario u otro, normalmente lo elije el comprador porque pide una hipoteca y se hace cerca de la oficina bancaria, pero no hay ningún derecho ni ninguna ley que lo estipule.
Personalmente, muchos vendedores (promotoras, inmobiliarias etc.) ha determinadas personas hacen descuentos importantes (por la cantidad de escrituras que firman) pero en tu caso el vendedor no debe de pagar ninguna minuta por lo que por esta banda no tiene nada que ganar. A veces si son personas un poco "ignorantes" en el buen sentido de la palabra, de estos temas, y conocen personalmente al notario quieren firmar con él para que no les "timen", aunque te aseguro que nos Notarios no se la juegan por una simple compra-venta.
Deberíais llegar a un acuerdo pero no tiene la más mínima importancia, sobretodo para ti que llevaras a una persona del banco que es al primero que le interesa que todo esté firmado correctamente, ya que la hipoteca la da él.
Solamente a efectos generales, antes de firmar él debe de presentar el IBI y un certificado de la comunidad de propietarios conforme no tiene ninguna deuda.
En cuanto a los gastos, la plusvalía es a nombre del vendedor y la totalidad de gastos restantes a nombre del comprador. Si hubiera una hipoteca anterior, tu banco debe de preocuparse de retener la provisión de fondos para cancelarla tanto administrativamente como del registro (será dinero que se le pague de menos al vendedor).
Ya te digo, si todo es correcto, no tiene importancia el notario.

En la notaria, normalmente se firman dos escrituras, la de compraventa y la de hipoteca.
Lo normal es que vayas acompañado de un gestor del banco que te presta el dinero, y éste te podrá aclarar cualquier duda cuando el notario lea los documentos en alto antes de firmarlos.
Tiene derecho a elegir notario el que lo paga, normalmente el comprador, pero no veo ningún inconveniente en que sea amigo del comprador. Al fin y al cabo es un Notario.

El derecho de elegir notario lo tiene el comprador, aunque si no conoces a ninguno, te da lo mismo, no merece la pena discutir por eso, su insistencia puede deberse a que le va a realizar algún descuento.
En tu caso como hay una hipoteca, el banco se encargará de que todo esté en perfecto orden ya que si hay algún problema también saldría perjudicado el mismo. Y por otro lado el notario no se va a jugar su reputación por hacerle un favor a un amigo en una compraventa de una vivienda.
Mi consejo es que te leas la escritura algunos días antes de la firma, pidiéndole al notario un borrador, tanto de la compraventa como de la hipoteca, y que preguntes absolutamente todo lo que no entiendas.

La elección del Notario es lo de menos. Seguramente el Banco le pondrá más problemas porque las minutas y la información de los poderes se remiten desde la central. Si no quiere discutir con el dueño, lo mejor es decirle que el banco le obliga a hacerlo en su Notaría, para darle más celeridad. Si no está de acuerdo le da pasaporte y fuera. El vendedor esta obligado a facilitarle el medio de compra, que es la escritura. Si usted prepara la firma (lo hace el Banco) y el se niega a firmar, tiene ttodas las de perder.
Cambiar todo la logística para el Banco es más delicado, son susceptibles a ello por lo que le he explicado. El vendedor debe estar a cobrar y dejarle habitar la casa.
No obstante, para cualquier notario que elijan, usted puede preguntar lo que quiera en caso de duda.