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El tema de la transformada de Fourier gira (valga la expresión ) alrededor de la funsion senoidal
f(x) = A sen (w x + fi)
La funcion senoidal tiene propiedades muy convenientes . La pricipal es que la derivada de una función senoidal es otra función del mismo tipo.Esto simplifica mucho las ecuacines diferenciales. Jean Baptiste Joseph Fourier estaba estudiando las ecuaciones diferenciales de la conducción del calor en una barra y se dio cuenta de que
cuando las temprçeraturas iniciales eran una funcion cualquiera la cosa se complicaba bastante pero si si las temperaturas iniciles eran funciones senoidales del espacio o una suma de estas, la solución era facil de hallar. Se dijo no sera posible expresar una funcion como suma de senoides de distintas frecuencias y la respuesta que dio fue afirmativa. Se presento a la Academia de Ciencias de Paris y les dijo :
una funcion de caulquier forma se puede aproximar tan bien como queramos con una suma de senoides de distintas frecuencias y fases
Por supuesto que puede ser una suma finita o infinita. Resulta que los matematicos de la Academia de Ciencias no le creyeron y demoraro diez años en darse cuanta de que tenia razon.
Supongamos que tengo una funcion f(t) donde x es una funcion del tiempo . Para definir esa funcion yo tengo que dar el valor de f que corresponde a cada x. Pero si yo expreso esa función como suma de senoides
f(t) = sumatoria en wi de A(wi) sen(wi t + fi(wi))
ahora para definir f yo puedo dar las amplitudes A(wi) correspondientes a cada frecuencia temporal wi y la fase fi(wi) correspondiente a cada wi . He reeplazado el dominio del tiempo por el dominio de las frecuencias. A cada función del tiempo le corresponden las funcioes amplitud A(wi) de la frecuencia temporal wi . Tambien debo tener la funcion fase fi(wi) correspondientes a cada wi. Estas frecuencias corresponden a frecuencias temporales porque surgen en la descomposicion de una función del tiempo f(t). Si lo que quiero descomponer es una función del espacio f(x)
f(x) = sumatoria en wi de A(wi) sen(wi x + fi(wi))
donde las frecuencias wi serán frecuencies espaciales.
saludos
eudemo
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