Ayudenme con una demostración analítica por favor

Todo se basa en el teorema de los cosenos que dice que dado un angulo C y su lado opuesto c se cumple:

$$c^2=a^2+b^2-2abcosC$$

En el dibujo vamos a aplicar dos veces este teorema:

1) Sobre el tríangulo ABD, el ángulo será en A y el lado opuesto BD será una de las diagonales.

2) Sobre el triángulo ABC, con el ángulo en B y el lado opuesto en AC que es la otra diagonal

En el páralelogramo podemos distinguír dos lados iguales dos a dos

AB = CD = r

AD = BC = s

Las diagonales las llamare d=BD, e=AC

y dos ángulos iguales dos a dos

ang A = ang C

ang B = ang D

simplifico y llamaré A, B a los dos ángulos distintos

2A+2B = 360º

A+B =180º

Luego A y B son suplementarios y eso tiene la consecuencia de que los cosenos de A y B son opuestos, muy importante eso.

Pues vamos ya a aplicar el teorema de los cosenos, fijate que las letras no coincidirán con las del enunciado, tienes que traducirlas a los datos del enunciado

Aplicándolo al triángulo ABD, angulo en A y lado BD=d

d^2=r^2+s^2-2rs·cosA

Aplicándolo al triángulo ABC, ángulo en B y lado AD = e

e^2=r^2+s^2-2rs·cosB

d^2+e^2 = r^2 + s^2 - 2rs·cosA + r^2 + s^2 - 2rs·cosB

Como decíamos, los cosenos de A y B son opuestos luego se simplifican en la expresión

d^2 + e^2 = r^2 + s^2 + r^2 + s^2

Que es precisamente lo que nos pedían demostrar.

Y eso es todo.