Quien me dice el dominio y recorrido de g (x)=12/ x^2+3 por favor

El denominador no molesta esta vez. Las funciones no están definidas cuando el denominador se hace cero, pero en este caso eso no se da nunca

x^2+3 = 0

x^2 = -3

y no tiene soluciones en los números reales.

Luego el dominio es todos los números reales

Dom g = R

Y el recorrido, rango o imagen es el dominio de la función inversa.

$$\begin{align}&Dada\\ &y=\frac{12}{x^2+3}\\ &\\ &x^2+3=\frac {12}y\\ &x^2 = \frac{12}{y}-3=\frac{12-3y}{y}\\ &\\ &x=\pm \sqrt{\frac{12-3y}{y}}\\ &\\ &\end{align}$$

Primeramente descartamos y=0 ya que hace cero el denominador.

Y ahora debe ser que el radicando sea positivo, eso se puede dar de dos formas, siendo numerador y denominador positivos o siendo los dos negativos

12 - 3y >= 0 ==> 12 >= 3y ==> 4 >= y

y>0

Son los dos positivos para 0 < y <= 4

Y para que sean los dos negativos

12 - 3y < 0 ==> 12 < 3y ==> 4 < y

y<0

Son los dos negativos cuando

4<y<0

Absurdo, ya que sería 4<0

Luego no pueden ser los dos negativos y solo sirve la solución con ambos positivos

Rango g = (0, 4]

Este es el dibujo que corrobora lo que hemos calculado analíticamente