Para una ecuación diferencial se

Las ecuaciones homogéneas son aquellas en que

dy/dx = f(x, y)

donde se cumple

f(kx,ky) = f(x,y) para k € R

Si esta ecuación la ponemos de esa forma tendremos.

(x-y)dx+xdy = 0

xdy = (y-x)dx

dy/dx = (y-x) / x

dy/dx = (y/x) -1

y en efecto

f(kx,ky) = (kx/ky) - 1 = (x/y) -1 = f(x,y)

Las ecuaciones homogéneas se solucionan con el cambio

y/x = u

y=ux

de donde

dy/dx = u + (du/dx)x

Haciendo los cambios nos queda la ecuación

u + (du/dx)x = u - 1

(du/dx)x = -1

du/dx = -1/x

du = -dx/x

integrando

u = -lnx + C

Y aquí se hacen algunos arreglos con la variable de integración

u = -lnx - lnC

u = - (lnx + lnC) = - ln(Cx)

No olvidemos deshacer el cambio

y = ux

y = -x·ln(Cx)

Y eso es todo.