Intervalos de crecimiento
Buenas tardes experto el siguiente ejercicio me gustaría que me lo comprobara:
Sea la función definida por f(x) = x^4 - 8x^2. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de f ( abscisas donde se obtienen y valores que se alcanzan).
Solución: crece en ( -2,0 ) u ( 2, + infinito).
decrece en (-infinito, -2) u ( 0,2).
máximos : ( 0,0)
mínimos : ( -2, -16) y ( 2,-16 ).
Saludos y gracias por su ayuda.
1 respuesta
Derivamos e igualamos a 0 para obtener los intervalos de crecimiento, decrecimiento y extremos relativos
f '(x) = 4x^3 - 16x = 0
La primera raíz es x= 0
4x² - 16 = 0
4x² = 16
x² = 4
x = +2 y -2
Tenemos 4 intervalos
(-Oo, -2) es negativa por ser -oo el límite de la derivada cuando x tiende a -oo
(-2, 0) calculamos en -1 y tenemos 4(-1)³ - 16(-1) = 12 es positiva
(0, 2) calculamos en 1 y tenemos 4 - 16 = -12 es negativa
(2, +oo) es positiva por que el límite de la derivada es +oo cuando x tiende a +oo
Luego tenemos
Función f creciente en (-2, 0) U (2,+oo)
Decrece en (-oo, -2) U (0,2)
Los máximos se dan en los puntos donde la derivada es cero y la función crecía antes y decrece después
Eso se da en el punto x=0
Los mínimos donde la derivada es cero y la función decrece antes y crece después
Eso se da en los puntos x=-2 y x= 2
Calculando el valor de la función f(x) = x^4 - 8x² en esos puntos tenemos
Máximo relativo = (0,0)
Mínimos relativos = (-2, -16) y (2, -16)
Luego lo tienes perfecto.
