Criterio de concavidad (3)

Calculamos la derivada segunda.

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x}{x^2+2}\\ &\\ &\\ &f´(x) = \frac{x^2+2-2x^2}{(x^2+2)^2}=\frac{2-x^2}{(x^2+2)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &f´´(x) = \frac{-2x(x^2+2)^2-(2-x^2)2(x^2+2)2x}{(x^2+2)^4}=\\ &\\ &\frac{-2x(x^2+2)-4x(2-x^2)}{(x^2+2)^3}=\\ &\\ &\frac{-2x^3-4x-8x+4x^3}{(x^2+2)^3}=\frac{2x^3-12x}{(x^2+2)^3}\end{align}$$

El denominador es siempre positivo, luego el signo de la derivada segunda depende del numerador. Calculamos los puntos donde cambia de signo

2x^3 - 12x = 0

La primera respuesta es x=0

2x^2 - 12 = 0

2x^2 = 12

x^2 = 6

x = +- sqrt(6)

Luego tenemos 4 intervalos para un polinomio de grado 3 que empieza por -oo a la izquierda. Luego hasta el primer corte es negativa, hasta el segundo positiva, hasta el tercero negativa y a partir de este positiva

Es cóncava hacia arriba en (-sqrt(6), 0) U (sqrt(6), +oo)

Es cóncava hacia abajo en (-oo, -sqrt(6)) U (0, sqrt(6)

Y eso es todo.