Teorema de Cantor

Es fácil establecer una aplicación inyectiva de (0,1) en (0,1)x(0.1)

f(x) = (x,1/2) por ejemplo

Luego el cardinal de (0,1) es menor que el de (0,1)x(0,1)

La más complicada es la aplicación inyectiva de (0,1)x(0,1) en (0,1)

Dado (x,y)€(0,1)x(0,1) los pondremos como su expansión decimal

0.141592554... sería por ejemplo pi-3

x = 0.x1 x2 x3 x4 x5 ...

y = 0.y1 y2 y3 y4 y5 ...

y la imagen la obtenemos alternando los decimales

f((x,y)) = 0. x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 ...

Veamos que es inyectiva, supongamos que

f((x,y)) = f((z,t))

0. x1 y1 x2 y2 x3 y3 x4 y4 x5 y5 ... = 0. z1 t1 z2 t2 z3 t3 z4 t4 z5 t5 ...

entonces

xi = zi para todo i € N ==> x = z

yi = ti para todo i € N ==> y = t

luego (x,y) = (z,t)

Y habiendo aplicaciones inyectivas de uno en otro y viceversa los dos conjuntos tienen el mismo cardinal.