Cuantas soluciones tiene la ecuación x*log(x)=x^2?
se resuelve utilizando derivadas y teoremas relacionados con estas
1 respuesta
Esta ecuación solo tiene sentido para x>0 ya que si si x es cero o negativo no está definido el logaritmo.
Por lo tanto al ser x distinto de 0 podemos empezar haciendo la simplificación de la x, ya que las soluciones son las mismas.
log(x) = x
Consideramos la función
f(x) = log(x) - x
Es una función continua en (0, +oo) luego tomará todos los valores comprendidos entre su mínimo y máximo absoluto, y ninguno fuera de este intervalo.
El límite por la derecha en 0 es -oo ya que el logaritmo tiende a -oo cuando x tiende a 0.
Y el límite en +oo es -oo ya que la función x tiende más rapido a infinito que el logaritmo.
Esto nos dice que o no hay solución o el número de soluciones es par. Para averiguarlo calculamos la derivada y así sabremos los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
f '(x) = 1/x - 1 = (1-x)/1
Es positiva cuando
1-x > 0
x < 1
Y negativa cuando
x>1
Luego la función f crece en (0, 1) y decrece en (1, +oo)
Ahora veamos el valor máximo que alcanza en x=1
f(1) = log(1) - 1 = 0-1 = -1
Luego el mayor valor de la función es -1, su rango es (-oo, -1], no llega a cortar el eje X y por tanto la ecuación
log(x)=x no tiene soluciones reales
y la ecuación x·log(x)=x^2 tampoco.
muchas gracias y si en vez de la ecuación dada fuera
c*log(x)=x^2 según los valores c>0
Eso es una pregunta distinta. Las preguntas distintas se hacen en una pregunta nueva, ya que suponen un trabajo nuevo por el que no se obtendrán puntos si se responde en la misma pregunta.
Entonces lo que tienes que hacer es cerrar está pregunta puntuando el máximo y luego me mandas ese ejercicio en una pregunta nueva.
