Derivada de un cociente

Si, si puedes simplificar la función antes de hacer la derivada es mejor. Si no, después de derivar puede ser más difícil simplificar.

En este caso

$$\begin{align}&y =\frac{x^4-1}{x^2-1}= \frac{(x^2+1)(x^2-1)}{x^2-1}=x^2+1\\ &\\ &\\ &y´= 2x\end{align}$$

Si no hubiéramos simplificado, sería así:

$$\begin{align}&y=\frac{x^4-1}{x^2-1}\\ &\\ &\\ &y´=\frac{4x^3(x^2-1)-(x^4-1)2x}{(x^2-1)^2}=\\ &\\ &\frac{4x^3(x^2-1)-2x(x^2+1)(x^2-1)}{(x^2-1)^2}=\\ &\\ &\frac{4x^3 -2x(x^2+1)}{(x^2-1)}=\\ &\\ &\frac{4x^3-2x^3-2x}{x^2-1}=\\ &\\ &\frac{2x^3-2x}{x^2-1}=\frac{2x(x^2-1)}{x^2-1}=2x\end{align}$$

Como puedes ver ha sido mucho más sencillo simplificando antes de derivar.

Derivando nuevamente seria 2 verdad?

Sé que sale una parábola hacia arriba pero no se que puntos de coordenadas debo tomar en cuenta para la gráfica, me piden ver si es creciente, decreciente, cóncava hacia arriba,
cóncava hacia abajo; máximos y mínimos relativos; asíntotas verticales y
horizontales

Si claro, la derivada segunda es 2.

Todo se hace a partir de la simplificación inicial que hice

y=x^2+1

Para ver si es creciente se tiene que tener en cuenta el signo de la derivada primera

y'=2x

luego es decreciente en (-oo,0)

y es creciente en (0,+oo)

La derivada segunda es

y'' = 2

es siempre positiva, luego es cóncava hacia arriba

Los máximos y mínimos relativos son los puntos donde la derivada primera es 0

y'=2x=0

x=0

Como la derivada segunda es positiva se trata de un mínimo

Y el valor de la función en el mínimo es

f(0) = 0^2+1 = 1

Luego el mínimo es (0, 1)

No hay asíntotas verticales porque no hay un punto finito donde el límite de la función sea infinito.

No hay asíntotas horizontales porque el límite en +- oo es oo y para que hubiera ese límite debería ser un número finito.

Y con esos datos tenemos la forma que básicamente es entre U y V. Y ahora tomas unos cuantos valores para trazarla, das el valor que quieras a x y calculas y

y=x^2+1

(0,1)

(-1, 2)

(1, 2)

(-2, 5)

(2, 5)

(-3, 10)

(3,10)

Y eso es todo.