Un 2x fuera no pinta nada porque la derivada de lo de dentro de la raíz no tiene x. Luego haremos que desaparezca puniendo el 2x como u
$$\begin{align}&\int 2x \sqrt{2x-3}dx=\\ &\\ &u=2x\quad\quad \quad\quad \quad du=2dx\\ &dv=\sqrt{2x-3}dx\quad v=\frac 13 \sqrt{(2x-3)^3}\\ &\\ &=\frac{2x \sqrt{(2x-3)^3}}{3}-\frac 23\int \sqrt{(2x-3)^3}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{2x \sqrt{(2x-3)^3}}{3}-\frac 23 \frac{\sqrt{(2x-3)^5}}{5}+C=\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(x-\frac{2x-3}{5}\right)+C=\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(\frac{5x-2x+3}{5} \right)+C =\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{(2x-3)^3}}{3}\left(\frac{3x+3}{5} \right)+C =\\ &\\ &\\ &\frac 25 (x+1) \sqrt{(2x-3)^3}+C \\ &\\ &\end{align}$$
Y eso es todo.