¿Área máxima de un cilindro dentro de un cono?
Un cilindro circular recto se inscribe en un cono circular recto. Determinar las dimensiones que debe tener el cilindro para que su área superficial sea máxima.
datos del cono
altura=24 cm
radio= 10cm
1 Respuesta
El cilindro tendrá un radio r y una altura h. Con lo cual su volumen será:
V = Pi·h·r^2
Pero el hecho de estar inscrito en el cono hace que a cada radio del cilindro le corresponde una única altura y viceversa
r=10 ------> h=0
r=0 --------> h=24
Si incrementamos r en 10 dismininuye h en 24. A cada cm de incremento del radio le corresponden 24/10 de disminución de la altura
Si incrementamos r en x disminuye h en (24/10)x
h = 24 - (24/10)r = (240-24r)/10 = (120-12r)/5
Luego podemos poner el volumen solo en función del radio
V(r) = Pi·[(120-12r)/5]r^2 = (Pi/5)(120r^2 - 12r^3)
Y ahora derivamos e igualamos a 0 para calcular el máximo
V'(r) =(pi/5)(240r -36r^2) = 0
240r - 36r^2 = 0
r(240-36r) = 0
una solución es r=0
y la otra
240 - 36 r = 0
r = 240/36 = 20/3
La derivada segunda es
V''(r) = (pi/5)(240 - 72r)
V''(0) =240pi/5 >0 luego es mínimo
V''(20/3) = (pi/5)(240 -72·20/3) = (pi/5)(720-1440)/3 =-(pi/5)·720/3 <0 luego máximo
Y ahora calculamos la altura
h = (120-12r)/5 = (120 - 12·20/3) / 5 = (120-80)/5 = 8
Luego la solución es
r = 20/3 = 6.6666...cm
h = 8 cm
Y eso es todo.
