¿Cómo se hace este ejercicio?

csc a = 1 / sen a ==> sen a = 1 / csc a

sen a = -1/4

$$\begin{align}&\cos\;a = \pm \sqrt{1- \left ( \frac 14 \right )^2}=\pm \sqrt{1-  \frac{1}{16}}=\pm \sqrt{\frac{15}{16}}=\pm \frac{\sqrt{15}}{4}\\ &\\ &\text{Al tratarse del tercer cuadrante el coseno es negativo}\\ &\\ &\cos\;a=-\frac{\sqrt{15}}{4}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &tg\;a + sec\;a = \frac{sen\,a}{\cos\,a}+\frac{1}{\cos\,a}=\frac{1+sen \,a}{\cos\,a}=\\ &\\ &\\ &\frac{1-\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}=\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}=-\frac{3}{\sqrt{15}}=\\ &\\ &\\ &\text{Como suelen obligar a racionalizar los denominadores}\\ &\\ &=-\frac{3 \sqrt{15}}{15}= \frac{\sqrt{15}}{5}\end{align}$$

Y eso es todo.