Encontrar las raíces de este polinomio

Si fuera un asunto de vida o muerte el obtener las raíces exactas de una ecuación de tercer grado recurriría a la fórmula que está en la wikipedia. Creo que no he llegado nunca a terminar de resolver una ecuación por esa fórmula, me he aburrido antes de terminar.

Pero si fuera con una ecuación de grado 4 lo más directo sería suicidarse. Por sencilla que parezca las probabilidades de que tenga una respuesta racional son escasas y las irracionales son incalculables en la práctica a mano con la fórmula de grado 4.

Si hubiera soluciones racionales tendrían un numerador divisor de 5 y un denominador múlpiplo de 8

-1, 1, -5, 5,

-1/2, 1/2, -5/2, 5/2,

-1/4, 1/4, -5/4, 5/4,

-1/8, 1/8, -5/8, 5/8

Habría que probar con esos números. Hay teoría según la cual no es necesario probar con todos, pero en esto momento no la recuerdo.

Y si se aplicará esa teoría se vería que no sirve ninguna de ellas.

Si aplicarás la regla de los signos de Descartes verías que las raíces reales positivas pueden ser dos o ninguna y las negativas ninguna.

Y con teoría que ahora he olvidado, gráficas, derivadas y cuanto haga falta se puede ver que no hay soluciones reales, con lo cual no nos van a servir métodos como el de Newton-Raphson.

Hay un teorema que dice que en R siempre se puede descomponer un polinomio en producto de polinomios de grado 1 o 2. Si lo podemos descomponer en producto de dos polinomios de grado 2 ya se pueden calcular las raíces con la fórmula archiconocida.

8x^4 - 6x + 5 = 8(x^2 + ax + b)(x^2+cx+d) =

8(x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx + bd) =

8x^4 + 8(c+a)x^3 + 8(d+ac+b)x^2 + 8(ad+bc)x + 8bd

luego tenemos 4 ecuaciones

8(c+a) = 0 ==> c=-a

8(d+ac+b) = 0 ==> d - a^2 + b = 0

8(ad+bc) = -6 ==> 8(ad-ab) = -6 ==> 8a(d-b) = -6

8bd = 5 ==> d = 5/(8b)

Y con este valor de d vamos a la segunda y tercera

5/(8b) - a^2 + b = 0 ==> 5 - 8a^2·b + 8b^2 = 0 ==> a = +- sqrt[(5+8b^2)/(8b)]

8a(5/8b - b) = -6 ==> 8a(5-8b^2)= -48b ==> a = -6b / (5-8b^2)

igualando las dos

+-sqrt[(5+8b^2)/8b] = -6b / (5-8b^2)

(5+8b^2) / 8b = 36b^2 / (5-b^2)^2

Y vamos a parar aquí porque nos va a salir una ecuación de grado 6 para calcular b que todavía es peor que que lo que teníamos.

Me confíe porque con este método logre descomponer x^4+1 pero este polinomio es más difícil.

Llegados aquí te recomiendo algún programa de ordenador para resolver, por ejemplo con Máxima

allroots(8*x^4-6*x+5);

x=0.36311527557438*%i + 0.64874626040563,

x=0.64874626040563 - 0.36311527557438*%i,

x=0.84255012754443*%i - 0.64874626040563,

x=-0.84255012754443*%i - 0.64874626040563

La verdad es que ordena los términos como le da la gana

O con WolframAlpha pincha aquí

Y eso es todo.