Resolver la ecuación diferencial (ty+y^2 + t^2)dt -t^2 dy=0

El factor integrante es una función u(t, y) tal que multiplicada por P y Q hace que la diferencial sea total (o exacta).

La teoría te dirá como se hace. En general hallar el factor integrante es un problema difícil salvo en algunos casos como cuando el factor integrante sea una función que solo depende de t o de y. La wikipedia también añade los casos en que el factor integrante dependa solo de (x+y) o de (xy)

Factor integrante

La verdad es que yo toda la vida he visto que se usan las letras M y N en la ecuación en vez de P y Q. Voy a usar M y N para no liarme.

Vamos a ver si puede haber un factor integrante de esos tipos.

$$\begin{align}&M=ty+y^2+t^2\\ &N=-t^2\\ &\\ &\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial t}=t+2y+2t= 3t+2y\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Dividiendo 3t+2y entre M o N no da una función solo de t o de y

dividiendo entre M-N es

(3t+2y) / ( ty+y^2+2t^2) que no es una función de (x+y)

dividiendo entre Mt-Ny es

(3t+2y) / (t^2y+y^2t+t^3+yt^2) = (3t+2y) / ( 2yt^2+ty^2+t^3)

que no es una función de (xy)

Pues no sale el factor integrante, o hay algún error en el enunciado o es una ecuación para resolver de otra forma.

(ty+y^2 + t^2)dt -t^2 dy=0

(ty+y^2 + t^2)dt = t^2 dy

dy/dt =(ty+y^2 + t^2) / t^2

Hagamos

y=t·v

donde v es una función de t

dy/dt = v + t·dv/dt

sustituimos en la ecuación

v + t·dv/dt = (t^2·v + t^2·v^2 + t^2) / t^2

v + t·dv/dt = v+v^2+1

t·dv/dt = v^2 + 1

es de variables separables

dv / (v^2+1) = dt / t

integramos los dos lados y ponemos la constante C de forma más adecuada

arctg(v) = ln|t| + lnC

arctg(v) =ln|Ct|

v = tg(ln|Ct|)

recordemos qu era y=tv luego v=y/t

y/t = tg(ln|Ct|)

y = t·tg(ln|Ct|)

Y eso es todo.

si me he dado cuenta que lo he empecé a hacer mal ; podría tratarse de una simple ecuación homogénea de grado 2? pregunto porque no estoy del todo segura, lo he resuelto de esta forma

M(t,y)=ty+y^2+t^2 ; N(t,y)=-t^2 utilizo el cambio de variable z=y/t ; tz=y ; zdt+tdz=dy

sustituyo en la ecuación :

(t^2)z+z^2+t^2 dt - t^2(zdt+tdz)=0

(t^2)+z^2+t^2 dt-t^2zdt-t3dz=0

t^2z+z^2+t^2tdt-t^2zdt=t^3dz

(t^2z+z^2+t^2-t^2z)dt=t^3dz

z^2+t^2dt=t^3dz

t^2/t^3dt=-z^2dz

1/tdt=-z^2dz

integral1/t dt=integral -z^2dz

ln1+1= -z^3/3+c

ln(t)= (-y/t)^3/3

ln(t)=-y^3/3t^3+c

¡Ah! Pues es verdad, no había pensado en las homogéneas aunque la resolución que le di es la misma de las homogéneas.

No es homogénea de grado 2, es homogénea de grado 0 o simplemente homogénea, ya que llamando

f(t,y) = (ty+y^2 + t^2) / t^2

se cumple

f(at,ay) = (a^0)·f(t,y) con a € R

Y eso significa que es homogénea de grado 0.

Lo que pasa es que te has equivocado al hacer las sustituciones, donde pusiste

(t^2)z+z^2+t^2 dt - t^2(zdt+tdz)=0

es

(t^2)z + t^2·z^2 + t^2 dt - t^2(zdt+tdz)=0

Supongo que tras corregir eso te dará la misma respuesta que a mí

si, es cierto me he equivocado al sustituir gracias, de todas formas no se porque me sigue saliendo una solución distinta a la tuya me da -1/t=t^3/3 +C no se si es porque me he equivocado al hacer los cálculos pero lo he revisado y parece todo correcto

Pues mándame las cuentas que has hecho para ver donde está el fallo.

estas son las cuentas que yo he hecho

(t^2)z + t^2·z^2 + t^2 dt - t^2(zdt+tdz)=0

(t^2)z + t^2·z^2 + t^2 dt -t^2zdt-t^3dz=0

(t^2)z + t^2·z^2 + t^2-t^2z dt -t^3dz=0

t^2·z^2+t^2dt=t^3dz

(2/t)dt=(1/z^2)dz

resuelvo la integral y me da

2ln|t|=-1/z + C

la solución general seria

2ln|t|=-t/y +C

Tienes fallo en la primera línea. De la ecuación

(ty+y^2 + t^2)dt -t^2 dy=0

con el cambio

z=y/t

tz=y

zdt+tdz = dy

tras sustituir queda

[(t^2)z + t^2·z^2 + t^2]dt - t^2(zdt+tdz) = 0

El dt multiplica a todo lo anterior y tú solo lo pusiste multiplicando a t^2

Te recomendaría que lo primero que hicieras después fuera simplificar t^2

Mira a ver si ahora te sale lo mismo.

[(t^2)z + t^2·z^2 + t^2]dt - t^2(zdt+tdz) = 0 después de esto

[(t^2)z + t^2·z^2 + t^2]dt - (t^2)zdt+(t^3)dz) = 0

[(t^2)z + t^2·z^2 + t^2-(t^2)z]dt - (t^3)dz) = 0

[ t^2·z^2 + t^2]dt - (t^3)dz = 0 a partir de ahi me pierdo