Analizar si la siguiente afirmación es V o F

Se puede hacer de dos formas. Una es calculando el grado de los infinitésimos, eso se consigue haciendo el desarrollo de Taylor de las funciones en el punto x=1. El grado de cada infinitésimo será el exponente de la menor potencia de x-1 con coeficiente no nulo que aparece en el desarrollo. Y si los dos grados son iguales serán equivalentes.

Otra es calcular el límite del cociente. Si el límite es cero el grado del infinitésimo del numerador es mayor. Si el límite es un número distinto de cero los grados son iguales y los infinitésimos son equivalentes. Si el limite es infinito o -infinito el grado del infinitésimo del denominador es mayor.

Normalmente hay que usar la regla de l'Hôpital para calcular este límite, con lo cual se hacen derivadas y está muy relacionado con el primer método.

Como solo nos piden saber si son equivalentes usaremos este segundo método que es algo más corto.

lim x--> 1 de 3sen(x-1) / [Ln(x^2+x-1)] =

como te decía, eso no hay quien lo calcule, derivaremos numerador y denominador

= lim x-->1 de 3cos(x-1) / [(2x+1)/(x^2+x-1)] =

lim x -->1 de 3·cos(x-1)·(x^2+x+1) / (2x+1) = 3·1·3 / (2+1) = 9/3 = 3

Luego es un límite finito distinto de 0, y por lo tanto son equivalentes los infinitésimos.

Y eso es todo.