Considere en R3 los puntos A= (1,2,0), B=(1,0,1), C=( 0,1,1) y D=(2,2,2).
Bueno solo me interesa la pregunta C, pero creo que las otras son necesarias:
a) Determine la ecuación del plano P que contiene a los puntos A,B y C.
b) Determine las ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por el punto D y que es perpendicular al plano P.
c) Determine el punto en el plano P más cercano al punto D
1 Respuesta
No es estrictamente necesario,
Si ya has hecho las partes a y b no tienes mas que hallar la intersección de la recta y el plano, es un sistema de tres ecuaciones que te dará el punto. Supongo que puedes hacerlo, si no me lo dices.
Yo voy a intentar acortar un poco sin hacer las partes a y b.
A= (1,2,0), B=(1,0,1), C=( 0,1,1) y D=(2,2,2)
Hallamos dos vectores del plano, por ejemplo AB y AC
AB=(0,-2,1)
AC=(-1,-1,1)
El vector perpendicular es el producto vectorial, se hace con el determinante que supongo conocerás donde se pone arriba i, j, k y debajo los dos vectores.
(-2·1 - 1(-1))i - (0·1 - 1(-1))j + (0(-1)-(-2)(-1))k= -i + j - 2k
Que en coordenadas es (-1, 1, -2)
Y un punto del plano y uno de la recta deben coincidir
plano: (1,2,0) + t(0,-2,1) + s(-1, -1, 1) = (1-s, 2-2t-s, t+s)
recta: (2,2,2) + r(-1, 1, -2) = (2-r, 2+r, 2-2r)
y salen estas tres ecuaciones
1-s = 2-r ==> s=r-1
2-2t-s = 2+r ==> 2-2t-r+1 = 2+r ==> 2r+2t =1
t+s = 2-2r ==> t +r-1 = 2-2r ==> 3r + t = 3
Y con estas dos últimas tomo la 2º la multiplico por 2 y se la resto a la primera
-4r =-5
r= 5/4
Y con este valor de r vamos a la ecuación de la recta
(2 - 5/4, 2 + 5/4, 2 - 10/8) = (3/4, 13/4, - 1/4)
Y el punto mas cercano del plano al punto D es (3/4, 13/4, -1/4)
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si prefieres otro modo de hacerlo dímelo.
Que la resolví mal, voy a corregirla.
El producto vectorial auténtico es:
(-2·1 - 1(-1))i - (0·1 - 1(-1))j + (0(-1)-(-2)(-1))k= -i - j - 2k
Había puesto al revés el signo de j
El vector director de la perpendicular es (-1, -1, -2) y la continuación es esta:
Y un punto del plano y uno de la recta deben coincidir
plano: (1,2,0) + t(0,-2,1) + s(-1, -1, 1) = (1-s, 2-2t-s, t+s)
recta: (2,2,2) + r(-1, -1, -2) = (2-r, 2-r, 2-2r)
y salen estas tres ecuaciones
1-s = 2-r ==> s=r-1
2-2t-s = 2-r ==> 2-2t-r+1 = 2-r ==> 2t =1 ==> t=1/2
t+s = 2-2r ==> 1/2 +r-1 = 2-2r ==> 3r = 5/2 ==> r =5/6
Y una vez calculado r lo sustituimos en la ecuación de la recta
(2-5/6, 2-5/6, 2-10/6) = (7/6, 7/6, 2/6) = (7/6, 7/6, 1/3)
El punto es
(7/6, 7/6, 1/3)
Y por fin coinciden las respuestas y están bien, la comprobación de esta solución está en la otra respuesta. Por fin me podré poner con otra cosa, vaya lío me armé.
