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Resolver z^8=1 es hallar las raíces octavas de la unidad.
Esto se hace fácilmente pasando el número a forma polar.
El 1 en coordenadas polares tiene módulo 1 y ángulo 0º, aunque para poder hacer la operaciones de la raíz hay que poner 360º.
El módulo de la raíz octava es la raíz octava del módulo. Y la raíz octava de 1 es 1.
Y el ángulo de la primera raíz es el ángulo dividido entre 8, luego 360º/8=45º
Y las posteriores raíces se obtienen sumando sucesivamente la octava parte de 360º al ángulo anterior.
Con esto las raíces octavas tienen todas módulo 1 y ángulos
45º, 90º, 135º, 180º, 225º, 270º, 315º
Si queremos representar las raíces en forma binomial se toma como parte real el módulo de la raíz por el coseno del ángulo y como parte imaginaria el módulo de la raíz por el seno del ángulo.
$$\begin{align}&r_1=\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i\\ &\\ &\\ &r_2=i\\ &\\ &\\ &r_3=-\frac{\sqrt 2}{2}+\frac{\sqrt 2}{2}i\\ &\\ &\\ &r_4=-1\\ &\\ &\\ &r_5=-\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i\\ &\\ &\\ &r_6=-i\\ &\\ &\\ &r_7=\frac{\sqrt 2}{2}-\frac{\sqrt 2}{2}i\\ &\\ &\\ &r_8=1\end{align}$$
