Anónimo
Demostrar que la igualdad (a+b)a^-1(a-b)=(a-b)a^1(a+b)
Suponiendo que las matrices A y B son cuadradas de orden n, y que A posee inversa. Demostrar que:
(A+B)·A^-1·(A-B)= (A-B)·A^-1·(A+B)
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Usaremos las propiedades de la suma y producto de matrices.
Primero operamos la parte izquierda
(A + B)·A^-1·(A - B) =
(A·A^-1 + B·A^-1) (A - B) =
(I + B·A^-1)(A - B) =
A - B + B·A^-1·A - B·A^-1·B =
A - B + B - B·A^-1·B =
A - B·A^-1·B
y ahora vamos a operar la parte derecha
(A - B)·A^-1·(A + B) =
(A·A^-1 - B·A^-1) (A + B) =
(I - B·A^-1)(A + B) =
A + B - B·A^-1·A - B·A^-1·B =
A + B - B - B·A^-1·B =
A - B·A^-1·B
Luego es verdad la identidad propuesta.
Y eso es todo.