Progresión Geométrica Infinita
Hallar la suma de la progresión infinita
$$(2-\frac{1}{4}),(\frac{1}{2}-\frac{1}{12}),(\frac{1}{8}-\frac{1}{36}),...$$Gracias
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Primero veamos que es una progresión geométrica que no se ve tan claro.
2 - 1/4 = 7/8
1/2 - 1/12 = 5/12
1/8 - 1/36 = (9-2)/72 = 7/72
(7/8) / (5/12) = 84 / 40 = 21/10
(5/12) / (7/72) = 360 / 84 = 90/21
Luego no es una progresión geométrica. Pero si separamos la sucesión en dos si que tenemos dos progresiones geométricas
La primera sería
2, 1/2, 1/8 cuya razón es 1/4
La segunda
1/4, 1/12, 1/36 cuya razón es 1/3
Y el resultado es la primera menos la segunda
La formula de la suma infinita es
S= a1/(1-r)
La primera suma
2/(1-1/2) = 2/(1/2) = 4
La segunda suma
(1/4) / (1-1/3) = (1/4) / (2/3) = (1·3) /(4·2) = 3/8
Luego la sucesión inicial sumará
4-3/8 = (32-3)/8 = 29/8
Y eso es todo.
