Ayuda con este ejercicio algebraico

Un polinomio de grado 5 no siempre se puede factorizar, pero es de suponer que lo habrán puesto de forma que se pueda, teniendo suficientes raíces enteras o como mucho racionales para poder ir factorizándolo paso a paso.

Si tuviera raíces racionales serían de la forma p/q con p divisor del termino libre (que es -1) y q divisor del coeficiente de grado mayor que es 12

Esto daría estas posibilidades

{1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/4, -1/4, 1/6, -1/6, 1/12, -1/12}

comenzamos probando con el más sencillo el 1, veamos si p(1) = 0

12 - 8 - 13 + 9 + 1 - 1 = 0

Luego 1 es raíz, vamos a calcular el cociente de p(x) /(x-1) por Ruffini.

     12  -8  -13  9  1 -1
1        12    4 -9  0  1  
     ---------------------
     12   4   -9  0  1 |0

tenemos

p(x) = (x-1)(12x^4 + 4x^3 - 9x^2 +1)

llamando q(x) = 12x^4 + 4x^3 - 9x^2 + 1

Y seguimos probando el 1 por si acaso es una raíz repetida

q(1) = 12+4-9+1 = 8

q(-1) = 12 - 4 - 9 + 1 = 0

Luego x=-1 es raíz, volvemos a dividir por Ruffini.

    12   4  -9  0  1
-1     -12   8  1 -1
    ----------------
    12  -8  -1  1 |0

p(x) = (x-1)(x+1)(12x^3 - 8x^2 - x +1)

llamando r(x) = 12x^3 - 8x^2 - x + 1

Seguímos probando con -1 por si es raíz doble

r(-1) = -12 -8 +1 + 1 = -18

r(1/2) = 12/8 - 8/4 - 1/2 + 1 = 3/2 - 2 - 1/2 + 1 = 2/2 - 1 = 1-1= 0

luego x=1/2 es raíz, volvemos a usar Ruffini.

     12  -8  -1   1
1/2       6  -1  -1
     --------------
     12  -2  -2  |0

p(x) = (x-1)(x+1)(x-1/2)(12x^2 - 2x - 2)

Llamando s(x) = 12x^2 - 2x - 2

Ahora ya podríamos resolver la ecuación para obtener las dos raíces si quisiéramos, y voy a hacerlo ya me cansé de Ruffini

x = [2 +- sqrt(4+96)] / 24 = (2 + - 10) / 24 = -8/24 y 12/24 = -1/3 y 1/2

luego

12x^2 - 2x - 2 = 12(x-1/2)(x+1/3)

Y en total tenemos

p(x) = 12(x-1)(x+1)(x-1/2)^2·(x+1/3)

Esa es la factorización ultima, también cualquiera de las intermedias o cualquiera que puedas hacer multiplicando algunos de estos factores sirve como factorización, pero yo creo que era esta la que te pedían. Y si no, más que has aprendido.

Y eso es todo.