Ejercicios de parametrización por longitud de arco
hola! ¿podrías explicarme que es longitud de arco en curvas en el espacio? En el capitulo 5 del libro de calculo vectorial de claudio pita ruiz explican eso pero no he entendido, podrías explicarme ayudándome con los ejercicios 1, 3 y 4 de los que te pongo a continuación:
muchas gracias por tu ayuda.
1 respuesta
1)
$$\begin{align}&f(s)=\left(r·\cos \frac sr, r·sen \frac sr \right)\\ &\\ &f'(s) = \left(r\left(-sen \frac sr\right)\frac 1r,r\left(\cos \frac sr\right)\frac 1r \right)=\\ &\\ &\left(-sen \frac sr,\cos \frac sr \right)\\ &\\ &\\ &.\\ &\\ &\\ &f''(s)=\left(-\frac 1r \cos \frac sr,-\frac 1r sen \frac sr\right)\end{align}$$Sera ortogonal a f '(s) si el producto escalar es 0. Hagámoslo:
f '(s) * f ''(s) =-sen(s/r)·(-1/r)cos(s/r) + cos(s/r)·(-1/r)sen(s/r) =
(1/r)sen(s/r)·cos(s/r) - (1/r)sen(s/r)·cos(s/r) = 0
Luego son ortogonales.
La derivada de un vector unitario es un vector perpendicular a sí mismo. No se si es eso lo que quieren decir con lo de la interpretación geométrica. O quieren decir que como f '(s) son vectores tangentes al círculo entonces f ''(s) son vectores paralelos siempre al radio.
$$\begin{align}&||f''(s)||=\sqrt{\frac 1{r^2}\cos^2 \frac sr+\frac 1{r^2}sen^2 \frac sr}=\\ &\\ &\sqrt{\frac{1}{r^2}\left(\cos^2 \frac sr+sen^2 \frac sr\right)}=\sqrt{\frac 1{r^2}}= \frac 1r\end{align}$$Y eso es todo, manda un ejercicio en cada pregunta
