Ecuaciones matriciales e inversibles.
Sea A una matriz cuadrada de orden 3 que verifica la ecuación matricial A^2 + 2A = I, siendo I la matriz identidad de orden 3. Compruebe que A es inversible determinando la inversa de A en función de A.
Muchísimas gracias
1 respuesta
Calcularemos los determinantes a ambos lados de la igualdad, pero primero vamos a hacer algún arreglo haciendo uso de la propiedad distributiva del anillo de las matrices
A^2+2A = A(A+2I)
con ello
|A(A+2I)| = | I | = 1
Esta fuente es muy fea para escribir la matriz identidad pero espero lo entiendas distinguiendo entre la letra i mayúscula y las barras de determinante.
El determinante del producto es el producto de las determinantes
|A(A+2I)| = |A| |A+2I| = 1
Luego |A| no puede ser cero ya que sería imposible que el producto fuese 1
Y una matriz cuyo determinante es distinto de cero es inversible, luego A es inversible.
Y una vez que sabemos que es inversible sabemos que existe A^-1 y podremos multiplicar por ella
Teníamos
A(A+2I) = I
multiplicamos a izquierdas por A^-1
A^-1·A(A+2I) = A^-1·I
A+2I = A^-1
mejor le damos la vuelta
A^-1 = A+2I
Y eso es todo.
