Calcular la siguiente integral impropia

Primero calcularemos la integral indefinida, luego la evaluaremos.

Primero calculamos las raíces

x^3+1 = 0

x^3=-1

x=-1

dividimos entre (x+1)

     1   0   0   1
-1      -1   1  -1
     -------------
     1  -1   1   0

x^3 - 1 = (x+1)(x^2 - x + 1)

el segundo polinomio es irreducible en R

$$\begin{align}&\frac{1}{x^3+1}=\frac{a}{x+1}+ \frac{bx+c}{x^2-x+1}\\ &\\ &ax^2-ax+a+bx^2+bx+cx+c = 1\\ &(a+b)x^2+(-a+b+c)x +a+c= 1\\ &\\ &\text{Salen estas tres ecuaciones}\\ &a+b=0 \implies a=-b\\ &-a+b+c=0 \implies 2b+c=0\\ &a+c=1\implies-b+c=1\\ &\\ &3b=-1\\ &b=-\frac 13\\ &a= \frac 13\\ &c=1-\frac 13=\frac 23\\ &\\ &\int \frac{dx}{x^3+1}=\frac 13 \int \frac{dx}{x+1}-\frac 13 \int \frac{x-2}{x^2-x+1}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x+1|}{3}-\frac 16\int \frac{2x-1}{x^2-x+1}+\frac 16 \int \frac{3}{x^2-x+1}dx=\\ &\\ &\\ &\frac{ln|x+1|}{3}-\frac{ln|x^2-x+1|}{6}+\frac 12 \int \frac{dx}{\left(x- \frac 12\right)^2+\frac 34}\\ &\\ &\text {Hacemos solo la integral}\\ &\\ &\int \frac{4dx}{(2x-1)^2+3}=\frac 43\int \frac{dx}{\left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}  \right)^2+1}=\\ &\\ &\frac 43·\frac{\sqrt 3}{2}arctg\left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}  \right)=\\ &\\ &\frac{2}{\sqrt 3}arctg\left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}  \right)\\ &\\ &\\ &\text {Reuniéndolo todo}\\ &\\ &\frac{ln|x+1|}{3}-\frac{ln|x^2-x+1|}{6}+\frac{1}{\sqrt 3}arctg\left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}  \right)\\ &\\ &Indefinida(x)=\frac 16 ln \left(\frac{x^2+2x+1}{|x^2-x+1|}\right)+\frac{1}{\sqrt 3}arctg\left(\frac{2x-1}{\sqrt 3}  \right)=\\ &\\ &\\ &Impropia=\lim_{x\to \infty} Indefinida(x)-Indefinida(0)=\\ &\\ &\frac 16 ln 1 + \frac{1}{\sqrt 3}arctg(\infty)-\frac 16 ln1-\frac{1}{\sqrt 3}arctg\left(- \frac{1}{\sqrt 3}  \right)=\\ &\\ &\frac{\pi}{2 \sqrt 3}- \frac{1}{\sqrt 3}\left(-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4 \pi}{6 \sqrt 3}=\frac{2 \pi}{3 \sqrt 3}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Es imposible trabajar con expresiones tan largas en el editor de ecuaciones, el ordenador va a tirones, mas rato parado que funcionando, por eso he prescindido de muchos pasos, pero era imposible ponerlos todos. La solución está verificada y está bien.

Y eso es todo.