Función inversa localmente
Buenas tardes, tengo un problema con esta función.
Me piden ver en que puntos es localmente invertible. Hice el determinante y me dio que es localmente invertible en todos los puntos menos (x,y)=!(0,0) o sea ahí el teorema de función inversa no dice nada cuando el determinante de la matriz Jacobiana es igual a 0.
La función es f(x,y)= (2xy, x^2 -y^2) tengo que demostrar que es o no es biyectiva pero no se me ocurre como.
Ayuda por favor :)
1 respuesta
El Jacobiano es
|2y 2x |
|2x -2y| = -4y^2 -4x^2
-4y^2 - 4x^2 = 0
y^2 = -x^2
y=x=0
Luego el teorema te dice que en todo punto distinto de (0,0) la función es localmente invertible. No te dice nada de lo que pasa en el punto (0,0).
Que sea biyectiva es algo bastante distinto, localmente invertible no significa biyectiva.
Para demostrar que es biyectiva hay qe demostrás que es inyectiva y sobreyectiva.
Inyectiva:
Sean dos puntos con la misma imagen
f(x,y) = f(z,t)
2xy = 2zt
x^2-y^2 = z^2-t^2
Y esto no implica (x,y) = (z,t) si tomamos
(x,y) = (1,1)
(z,t) = (-1,-1)
2xy=2
2zt=2
x^2-y^2 = 0
z^2-t^2 = 0
luego f(x,y)=f(z,t) pero (x,y) distinto de (z,t)
Por lo tanto f no es biyectiva.
Y eso es todo, no sé si era eso lo que querías saber. Si no es así dímelo. Y si ya está bien, no olvides puntuar.
