1 respuesta
buen dia, es la que hice en la formula, la del titulo no
Adolfo 1988!
Esta es algo más complicada que las que estabas mandando últimamente.
Se resuelve con el cambio de Euler, también yo descubrí ese cambio antes de saber que existía.
$$\begin{align}&\int_0^a \sqrt{a²+x²}\, dx=\\ &\\ &\text {Y ahora vienen muchas operaciones para hacer el cambio}\\ &\\ &\sqrt{a²+x²}=x+t\\ &\\ &x=0 \implies t=a\\ &x=a \implies \sqrt{2a²}=a+t \implies t =a(\sqrt 2-1)\\ &\\ &a²+x² = x²+t²+2xt\\ &\\ &a² = t²+2xt\\ &\\ &x=\frac{a²-t²}{2t}\\ &\\ &\sqrt{a²+x²} = x+t = \frac{a²-t²}{2t}+t =\frac{a²+t²}{2t²}\\ &\\ &\\ &dx =\left( \frac{-a²}{2t²}-\frac{1}{2} \right )dt=-\frac{1}{2} \left ( \frac{a²+t²}{t²} \right )\\ &\\ &\\ &\text {Y finalmente aplicamos ya el cambio}\\ &\\ &\\ &\\ &=-\frac{1}{2} \int_a^{a(\sqrt 2-1)} \frac{a²+t²}{2t²}·\frac{a²+t²}{t²}dt=\\ &\\ &\\ &\text {Cambiaremos de signo intercambiando los límites}\\ &\\ &\\ &\frac{1}{4} \int_{a(\sqrt 2-1)}^a \left ( \frac{a4}{t4}+1+\frac{2a²}{t²} \right )dt =\\ &\\ &\frac{1}{4} \left [ \frac{-a4}{5t5}+t-\frac{-2a²}{3t³} \right ]_{a(\sqrt 2-1)}^a\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Lo siento, la pregunta me está superando. Hace ya rato que tengo que hacer cosas y lo dejo porque aunque estamos en el final aun queda bastante suplicio.
Además he visto que esta integral los programas la resuelven de otra forma más directa.
Dentro de varias horas la termino y la hago de otra forma que no sé si será intuitiva pero es mucho más corta.
Entretanto podrías decirme que método te han enseñado para resolver esta integral. Dime también qué estudias y qué curso.
Pues había un fallo, la línea corregida es:
$$\sqrt{a²+x²} = x+t = \frac{a²-t²}{2t}+t = \frac{a²+t²}{2t}$$Aparte de ir ya mal aun me equivoque más en el último paso.
$$\begin{align}&\frac{1}{4} \int_{a(\sqrt 2 -1)}^a \left ( \frac{a4}{t³}+t+\frac{2a²}{t} \right ) dt =\\ &\\ &\\ &\frac{1}{4}\left [ -\frac{a4}{2t²}+\frac{t²}{2}+2a²ln \; t \right]_{a(\sqrt 2 -1)}^a =...=\\ &\\ &\frac{a²}{4} \left [ \frac{(1-(\sqrt 2-1)^4)}{2(\sqrt 2-1)²} -2ln(\sqrt 2 -1)\right ]\end{align}$$
Como otras veces no podía abrir una linea nueva y no podía seguir escribiendo. ¡Qué desastre de página!
Espera a ver si hago algo más o ya vale con eso. La respuesta ya está dada, pero no puedo estar seguro del todo, veré a ver si puedo comprobarla.
Casi mejor olvídate de todo lo anterior, seguramente está mal.
Viendo la respuesta que da el ordenador a la integral he deducido que se ha usado este otro método. Lo único que tiene raro es que hay que saber la derivada del arco seno hiperbólico, cosa poco habitual.
$$\begin{align}&I=\int \sqrt{a²+x²} \; dx = \int \frac{a²+x²}{\sqrt{a²+x²}} dx=\\ &\\ &\int \frac{a²dx}{\sqrt{a²+x²}}+ \int \frac{x²dx}{\sqrt{a²+x²}}=\\ &\\ &\text{Como decia, la derivada del arcsinh(t) es:}\\ &\frac{1}{\sqrt{1+t²}}\\ &\\ &\\ &=···=\int \frac{adx}{\sqrt{1+ \left ( \frac{x}{a} \right ) ²}}+ \int \frac{x²dx}{\sqrt{a²+x²}}=\\ &\\ &\\ &a²·arcsinh \left ( \frac{x}{|a|} \right )+ \int \frac{x²dx}{\sqrt{a²+x²}}=\\ &\\ &\text{Y esta que queda se hace por partes:}\\ &\\ &u=x \implies du=dx\\ &\\ &dv = \frac{xdx}{\sqrt{a²+x²}}dx \implies v=\sqrt{a²+x²} \\ &\\ &\\ &I=a²·arcsinh \left ( \frac{x}{|a|} \right )+x \sqrt{a²-x²}-I\\ &\\ &\\ &\text {Es algo que sucede a veces, la expresión de la} \\ &\text {integral se contiene a si misma. Por lo que despejando}\\ &\\ &\\ &I = \frac{1}{2} \left [ a²·arcsinh \left ( \frac{x}{|a|} \right )+x \sqrt{a²+x²} \right ]+C\\ &\\ &I_0^a=\frac {a²}{2}(arcsinh(1)+\sqrt 2 -arcsinh(0)-0)=\\ &\\ &\frac {a²}{2}(arcsinh(1)+\sqrt 2) \approx 1,147793575 a²\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$Y eso es todo.
