Ayudenme este ejercicio por áreas de regiones aplicando integrales ... Daré Puntos gracias

Hay que tener cuidado con el dominio de la función. En

r^2= 2sen(2t)

tendremos r = sqrt[2sen(2t)]

pero si sen(2t) <= 0 no estará definida la función, luego el dominio es

2t € [0, pi] U [2pi,3pi] U [4pi, 5pi] U ...

t € [0, pi/2] U [pi, 3pi/2] U [2pi, 5pi/2] U ...

el tercer intervalo y siguientes ya no es necesario.

Respecto a la función r=2sen(t) basta con el dominio

t€[0,pi]

con [pi,2pi] se vuelve a dibujar la circunferencia en sentido contrario.

Pero eso no importa, de hecho hice la gráfica de 0 a 2pi sin darme cuenta que no solo así falta 0 a pi

Esta es la gráfica

El área que nos piden es la suma de las tres zonas de colores que puse, la azul, rosa y verde.

Es necesario saber el ángulo de intersección de la curva azul con la roja ya que marca la separación de las zonas azul y rosa

sqrt[2sen(2t)] = 2sen(t)

2sen(2t) = 4sen^2(t)

4sent·cost = 4sen^2(t)

sent=0 no es la que buscamos, simplificamos

4cost = 4sent

t = pi/4

es la respuesta que se veía claramente, pero otras veces no será tan claro.

Y ahora aplicaremos la fórmula del área en polares par las tres zonas

$$\begin{align}&A=\frac 12\int_0^{\pi/4}4sen^2\theta\;d\theta+\\ &\frac 12\int_{\pi/4}^{\pi/2}2sen\,2\theta\;d\theta+\\ &\frac 12\int_{\pi}^{3\pi/2}2sen\,2\theta\;d\theta=\end{align}$$

Y sin demostración rigurosa asumimos que la zona rosa es la mitad de la verde por lo que podemos poner 3 veces la rosa en lugar de rosa+verde. Y es más, la rosa que es una integral entre pi/4 y pi/2 es la misma que la integral entre 0 y pi/4. Si no estás de acuerdo con esas afirmaciones puedes hacer las integrales tal como están, pero es que en esta página el hacer cuanto menos largos los párrafos del editor de ecuaciones es fundamental

$$\begin{align}&2\int_0^{\pi/4}sen^2\theta\;d\theta+3\int_{0}^{\pi/4}sin2\theta\;d\theta=\\ &\\ &2\int_{0}^{\pi/4}\left(\frac 12 - \frac{\cos 2\theta}{2}\right)d\theta-\frac 32\left.\cos 2\theta\right|_0^{\pi/4}=\\ &\\ &\left[\theta-\frac{sen\,2\theta}{2} \right]_0^{\pi/4}-\frac 32(0-1)=\\ &\\ &\frac{\pi}{4}-\frac 12+\frac 32 = 1+\frac {\pi}4\end{align}$$

Y eso es todo.