Las ecuaciones diferenciales estando

Para usar M y N de la misma forma que en la teoría lo pasamos todo a la izquierda
(1 + e^y/x)dx + (-x-3e^y)dy = 0
M = 1 + e^y / x
N = -x - 3e^y
My = e^y / x
Nx = -1
Nx-My = - (1 + e^y / x)
Si dividimos entre M queda
(Nx-My) / M = -1
que no depende de x
Y el factor integrante es e elevado a la integral de (Nx-My)/M dy, la integral es -y, luego el factor integrante es
mu=e^(-y)
Multiplicamos M y N por el factor integrante
[e^(-y) + 1/x]dx + [-xe^(-y) -3]dy = 0
comprobamos que ahora es exacta
My = -e^(-y)
Nx = -e^(-y)
Luego es diferencial exacta.
La respuesta de esta ecuación es una función u(x,y) = C
1) Integramos M o N respecto la variable de su diferencial y como constante de integración poner una función de la otra variable
Integraré M respecto a x
u(x,y) = xe^(-y) + ln x + g(y)

2) Derivamos respecto de la otra variable y lo igualamos al otro N o M, y despejamos la derivada . En este caso la otra variable es y
-xe^(-y) + g'(y) = -xe^(-y) - 3
g'(y) = -3

3) Integramos la derivada
g(y) = -3y

4) Sustituimos el valor de la función que hemos calculado en la expresión obtenida en el paso primero
u(x,y) = xe^(-y) + ln x - 3y = C

Y eso es todo.