Pregunta de calculo:

El conjunto donde la función sea creciente será el conjunto donde la derivada primera sea positiva, luego la calcularemos

f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x

Como f'(x) es continua (todos los polinomios lo son) si en algún punto pasa de ser positiva a negativa o viceversa habrá un punto intermedio donde valga cero, luego los intervalos generados por las raíces de f '(x) determinarán los intervalos de crecimiento o decrecimiento.

f '(x) = 0

4x^3 - 12x^2 + 6x = 0

x(4x^2 - 12x + 6) = 0

una raíz es x=0

las otras son las de

4x^2 - 12x + 6 = 0

simplifico para facilitar las cuentas

2x^2 - 6x + 3 = 0

$$\begin{align}&x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{4}= \\ &\\ &\frac{6\pm 2 \sqrt 3}{4}= \frac{3\pm \sqrt 3}{2}\approx\\ &\\ &\\ &0.63397459621556\\ &y\\ &2.366025403784439\end{align}$$

Luego las raíces dividen R en 4 intervalos, dentro de cada uno el signo de la función f '(x) es constante:

f '(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x

(-oo, 0) tomamos x=-1 ==> f '(-1)=-4-12+6 = -10 negativo luego f decrece

(0, 0.63...) tomamos x=1/2 ==> f '(1/2) = 1/2 - 1/4 + 3 = 7/2 positivo luego f crece

(0.63.. , 2.36..) tomamos x=1 ==> f '(1) = 4-12+6=-2 negativo luego f decrece

(2.36.., +oo) tomamos x=3 ==> f(3) = 108 - 108+18 = 18 positivo luego crece.

Luego el conjunto donde f es creciente es

$$C=\left(0\;,\;\frac{3- \sqrt 3}{2}\right)\cup\left(\frac{3+ \sqrt 3}{2}\;,\;+\infty\right)$$

Y eso es todo.