Ejercicio de curvatura y torsión numero 3

Tenemos la curva en el espacio. Dicha curva tiene en cada punto el plano osculador que lo definen la recta tangente y la normal. Es el plano que mejor le sienta a la curva en ese punto. Si la curva estuviese siempre en es plano diríamos que no se "retuerce" pero lo normal es que la curva tenga un plano osculador distinto nada más que nos movamos de ese punto. Y lo que mide la torsión es la velocidad con la que la curva se aleja del plano osculador. Para ello examina la velocidad con la que crece la curva en la componente perpendicular al plano osculador.

Mi viejo libro llama torsión al cociente 1/T

$$\begin{align}&\frac 1T= \left|\frac {db}{ds}  \right|\\ &\\ &\frac 1Tn=\frac{db}{ds}\end{align}$$

donde b es el vector binormal que es el producto vectorial de los vectores tangente y normal unitarios. Y to esto queda muy bonito así, pero como rara vez tenemos las curvas parametrizadas respecto del arco s, para calcular la torsión de una curva parametrizada de cualquier forma se convierte en una expresión fea y trabajosa.

Además voy a llamar tao(t) a la torsión que es como veo que lo pone la Wikipedia

$$\begin{align}&\tau(t)=-\frac{r'(t)\left(r''(t)\times r'''(t)\right)}{\left|\left|r'(t)\times r''(t)  \right|\right|^2}\\ &\\ &\\ &\text{Espera que esta da lo mismo y será mejor}\\ &\\ &\tau(t)=-\frac{\left(r'(t)\times r''(t)\right)· r'''(t)}{\left|\left|r'(t)\times r''(t)  \right|\right|^2}\end{align}$$

Si, es mejor porque lo que lía es el producto vectorial, así solo se calcula uno

Y el ejercicio pide demostrar que la curva

r(t) = (3t-t^3 , 3t^2 , 3t+t^3) tiene curvatura y torsión iguales en todos los puntos.

Pues menudo trabajo

r'(t) = (3-3t^2 , 6t , 3+3t^2)

r''(t) = (-6t, 6, 6t)

r'''(t) = (-6, 0, 6)

r'(t) x r''(t) = (36t^2 - 18 - 18t^2)i +(-18t-18t^3-18t+18t^3)j +(18-18t^2+36t^2) =

18[(t^2-1)i -2tj + t^2+1]

$$\begin{align}&K(t) = \frac{18 \sqrt{(t^2-1)^2 +4t^2 + (t^2+1)^2}}{\sqrt{\left[(3t^2-3)^2 + 36t^2 +( 3+3t^2)^2\right]^3}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{18 \sqrt{(t^2-1)^2 +4t^2 + (t^2+1)^2}}{27 \sqrt{\left[(t^2-1)^2 + 4t^2 +( 1+t^2)^2\right]^3}}=\\ &\\ &\\ &\\ &\frac{2}{3\left[(t^2-1)^2 , 4t^2 +( 1+t^2)^2\right]}=\\ &\\ &\\ &\frac{2}{3\left(t^4-2t^2+1+4t^2+1+2t^2+t^4\right)}=\\ &\\ &\\ &\frac{2}{3\left(2t^4+4t^2+2\right)}=\frac{1}{3(t^4+2t^2+1)}=\\ &\\ &\frac{1}{3(t^2+1)^2}\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &\\ &----------\\ &\\ &\\ &\tau(t)=18 ·\frac{(t^2-1, -2t, 1+t^2)·(-6,0,6)}{18^2[(t^2-1)^2 +4t^2 + 4]}=\\ &\\ &\\ &\frac{-6t^2+6+6+6t^2}{18[(t^2-1)^2 +4t^2 + (t^2+1)^2]}=\\ &\\ &\\ &\text{Las cuentas del denominador son idénticas}\\ &\text{a la vez anterior}\\ &\\ &=\frac{12}{18·2·(t^2+1)^2}=\frac{1}{3(t^2+1)^2}\end{align}$$

Luego la curvatura y torsión son las mismas.

Y eso es todo.