Permutaciones, álgebra moderna

4.11)

Si n>= 3 tendremos un 2-ciclo y un 3-ciclo al menos, en concreto estos dos están en todo Sn con n>=3

(1,2)(1,2,3) = (1,3)

(1,2,3)(1,2) = (2,3)

Como podemos ver,no conmutan y el grupo no es abeliano

4.12)

Sea p una permutación distinta de la identidad de Sn con n>=3

Si p es un 2-ciclo

p=(a,b) tomamos el 3.ciclo (a,b,c) con c distinto de a y b

(a,b)(a,b,c) = (a,c)

(a,b,c)(a,b) = (b,c)

Luego los 2-ciclos no conmutan con todos los elementos del grupo.

Si p no es un 2 ciclo

Busquemos un elemento b que es llevado a un lugar c y c es llevado a d con d distinto de b

Si existe el b que cumple eso:

p·(b,c) lleva b a b

(b,c)·p lleva b a d

Como b distinto de d no conmutan

Si no existe ningún b que cumple eso, tomemos un elemento b cualquiera que se mueva de lugar, como p no es la identidad al menos mueve de lugar un elemento b

p lleva b a c y lleva c a b ya que si no estaríamos en el caso anterior que ya estaba resuelto.

Tomamos el 3-ciclo (b, c, d) con d distinto de b y c, y cumpliéndose que d no es cambiado de lugar por p. Si no existe un d cumpliendo eso ya veremos después lo que hacemos.

p·(c,b,d) lleva b a b

(c,b,d)·p lleva b a d

Como b distinto de d significa que no conmutan y no es abeliano.

Finalmente, si no existía el d que fuera fijo por p, significa que p es una permutación formada toda por 2-ciclos disjuntos que cubren todos los elementos

p=(b,c)(d,e)(f,g)··· y sin dejarse ningún elemento.

Tomemos la permutación (b,c,d)

p·(b,c,d) lleva b a d

(b,c,d)·p lleva b a b

Luego no conmutan.

Y eso es todo, es un poco líoso pero están contemplados todos los casos que pueden darse y cualquier permutación que no sea la identidad tiene al menos otra con la que no conmuta.