Álgebra de Grupo
Considere las rotaciones, centradas en el origen de coordenadas, que dejan fijo un pentágono regular cuyo centro es el (0,0). Realice una tabla de la composición de las rotaciones dada por la suma de rotaciones y demuestre que es un grupo.
1 Respuesta
No sé si hay que poner las rotaciones en forma matricial, aunque creo que no, ya que entonces la composición de rotaciones sería producto de matrices y aquí habla de suma.
El pentágono regular quedará fijo por una rotación cuando la rotación lleve un vértice sobre otro.
Como la circunferencia tiene 360º el ángulo entre dos vértices consecutivos es
360/5 = 72º
Luego las rotaciones que fijan el pentágono son la de 72º y las sumas de esta, aparte de la rotación nula
r0 = la de 0º
r1 = la de 72º
r2 = la de 144º
r3 = la de 216º
r4 = la de 288º
Y la operación de suma de rotaciones es
r sub i + r sub j = r sub (i+j módulo 5)
Esto es un grupo, es isomorfo al famoso grupo Z5
Es asociativa ya que se puede comprobar que
ri + (rj + rk) = r sub(i+j+k mod 5)
(ri + rj) + rk = r sub(i+j+k mod 5)
Tiene elemento neutro r0
Todo elemento tiene su opuesto
r0 --> r0
r1 ---> r4
r2 ---> r3
r3 ---> r2
r4 ---> r1
Incluso se puede demostrar que es un grupo conmutativo, aunque no lo piden
Y eso es todo.
