Determine si existe una matriz A, simétrica, de dimensión 2x2, tal que
a) (A^-1)^t [(1 3; 2 1) A - I2] = I2
*(1 3; 2 1)= es una matriz donde (1 3) es la primera fila y (2 1) es la segunda fila.
*12= matriz identidad de orden 2.
1 respuesta
Pues las primeras cuentas me han dicho que no existe, ahora las repaso al pasarlas aquí y lo confirmo.
Lo primero es que la inversa de la transpuesta es igual a la transpuesta de la inversa. Luego en vez de (A-1)^t podemos poner (A^t)^-1. Y al multiplicar a la izquierda por A^t quedará
(1 3; 2 1)A - I2 = A^t
Tomamos una matriz A simétrica genérica para hacer las cuentas A= (a c; c b) Y la operación quedará
(1 3; 2 1)(a c; c b) - (1 0 ; 0 1) = (a c; c b)
(a+3c,c+3b ; 2a+c,2c+b) - (1 0 ; 0 1) = (a c; c b)
De esto surgen hasta cuatro ecuaciones
a+3c-1=a ==>3c=1 ==>c= 1/3
c+3b=c ==> 3b=0 ==> b=0
2c+b+1 = b ==> 2c=-1 ==> c = -1/2
Y esto es absurdo porque c era 1/3
Luego la igualdad es imposible.
Y esto es todo.
