Pregunta Análisis Matemático 2
Hola, vi tu perfil y creo que podes ayudarme con un par de preguntas teóricas, las cuales son:
Explicar si siempre una derivada compuesta de una función multivariable es una derivada total.
¿Por qué las derivadas parciales de una función multivariable en un cierto punto de su dominio están relacionadas con el plano tangente a la superficie que gráfica la función en relación a dicho punto?
Tu respuesta me será de gran ayuda para seguir entendiendo la materia, y de más esta decir que voy a calificarte con el puntaje máximo. Gracias!
1 respuesta
No acabo de entender la pregunta. La expresión "derivada compuesta" ni me suena ni la encuentro. Podrías explicarlo bien y decir cuál es la función, ¿cuáles las variables, si estas variables son a la vez funciones de otra variable y a qué derivadas te refieres?
Es que la teoría se olvida con facilidad, pero aun repasando no entiendo a qué te refieres.
Perdón quizás me expresé mal, sería derivada de una función compuesta, tal como dice este link: http://usuarios.multimania.es/calculodiferencial/id64.htm, regla de la cadena, etc. Y con respecto a la función, es cuando se tiene por ejemplo: hallar la derivada de f con respecto a x de (u^2 + v^2)/(u^2 - v^2). u = sin(x) por ejemplo y v = cos(x). Lo que me interesa saber es si es una derivada total siempre, o sea, una derivada final.
Pues si, aplicando la teoría se obtiene que la derivada de la función multivariable compuesta se calcula mediante la derivada total. La teoría exige que existan las derivadas parciales de f respecto a u y v y las derivadas de u y v respecto de x asi como que todas estas derivadas sean continuas. Supongo que tendrás esa teoría en algún libro, sería muy pesado escribirla aquí.
Entonces, lo del siempre lo podríamos poner en duda cuando no se cumplan las condiciones que te decía respecto de las derivadas. Si se cumplen se podrá calcular como derivada total y si no habría que desarrollar la función para dejarla como función solo de x y calcular la derivada por las fórmulas de derivación o por la definición de derivada.
Las derivadas parciales son las derivadas direccionales en los ejes X e Y. Su valor numérico expresa la pendiente de la recta tangente a la función paralela al eje X e Y respectivamente.
Una pendiente también expresa un vector, la pendiente fx(x0, y0), que es la deriva parcial respecto a x, expresa el vector (1,0, fx(x0, y0)) y la fy(x0, y0) expresa el vector (0,1, fy(x0, y0))
Entonces entre el punto (x0, y0, f(x0, y0)) y esos dos vectores que son ortogonales podemos calcular la ecuación del plano tangente a la función en ese punto. Los puntos serán el punto más una combinación lineal de los dos vectores
(x,y,z) = (x0, y0, f(x0,yo)) + a (1, 0, fx(x0,y0)) + b (0, 1, fy(x0,y0))
x = x0 + a
y = y0 + b
z = f(x0, y0) + a·fx(x0, y0) + b·fy(x0, y0)
z = f(x0, y0) + (x-x0)·fx(x0,y0) + (y-y0)·fy(x0,y0)
Luego las derivadas parciales aparecen como coeficientes del plano tangente según ves en esta ecuación del plano..
Y eso es todo.
