Dada una función calcular...

La derivada en 0 será

f '(0) = lim h-->0 [f(h) - f(0)] / h =

lim h-->0 (senh/h - 1]) / h =

lim h-->0 [(senh -h) / h] / h =

lim h-->0 (senh - h) / h^2 =

Y este límite no se puede solucionar con operaciones algebraicas, habrá que usar la regla de l'Hôpital, el límite será igual al del numerador derivado entre el denominador derivado

= lim h -->0 (cosh -1) / 2h =

sigue habiendo indeterminación 0/0 derivamos otra vez numerador y denominador

= lim h-->0 -senh / 2 = 0

Luego f ' (0) = 0

La derivada segunda para x distinto de 0 se calcula con los métodos normales

f '(x) = (xcosx - senx) / x^2

f ''(x) = [(cosx -xsenx -cosx)x^2 - 2x(xcosx-senx)]/x^4 =

(x^3senx -2x^2cosx +2x·senx) / x^4 =

[(x^2+2)senx - 2xcosx] / x^3

Y para x=0 es

f ''(0) = lim h-->0 de [f '(h) - f'(0)] / h =

lim h-->0 de [h·cosh - senh - 0] / h=

lim h-->0 de (cosh - senh/h) =

1 - lim h-->0 de senh/h =

Ese es un límite que se conoce pero si no se conoce se calcula con la regla de l'Hôpital

= 1 - lim h-->0 de cosh / 1 = 1 - 1 = 0

Luego f ''(0) = 0

Y eso es todo.