La ecuación diferenciañ siguiente

My = 4xy-2xy/y^4 = 4xy -2x/y^3

Nx = 8xy

Si tomamos

(Nx-My) / Mx = (4xy + 2x/y^3) / (2xy^2 + x/y^2) = 2/y

Solo depende de "y", que es lo que dice la teoría para poder calcularlo de la forma

$$\begin{align}&\mu=e^{\int \frac 2y dy}= e^{2ln\,y}=e^{ln\, y^2}= y^2\\ &\\ &\text {multiplicando por el factor integrante}\\ &\\ &(2xy^4+x)dx+4x^2y^3\;dy=0\end{align}$$

La solución general de una ecuación diferencial exacta es una función así

u(x,y) = C

donde

d u(x,y) / dx = M

d (x,y) / dy = N

Y para calcularla se siguen varios pasos:

Primero. Se integra M o N respecto del diferencial que lleva y se pone como constante de integración una función de la otra variable

Por ejemplo la integral de M dx nos da

u(x,y) = (2y^4+1)x^2/2 + g(y)

Segundo. Esto derivado con respecto a la variable de la función g y debe darnos el M o N que no hemos integrado en el primer paso

8y^3·x^2/2 + g'(y) = 4y^3·x^2

4y^3·x^2 + g'(y) = 4y^2·x^2

g'(y) = 0

Tercero. Se integra g'(y), fácil en este caso y se sustituye en la expresión obtenida en el paso primero

g(y) = 0

u(x,y) = (2y^4+1)x^2/2 + 0

Y la solución general es

(2y^4+1)x^2/2 = C

2y^4 + 1 = 2C/x^2

2C es una constante que se puede reconvertir en C de nuevo

2y^4+ 1 = C/x^2

2y^4 = -1 + C/x^2

y^4 = (-1 + C/x^2)/2

y = [(-1 + C/x^2)/2]^(1/4)

Y eso es todo.