1) X^(lgx 9) = x+1 2) lgX 5 = lg5 X 3) L(-x^3+3x) = 3L(5-x)¿Cómo encuentro x en estas ecuaciones?

Con lgx 9 imagino que quieres decir logaritmo en base x de 9. Voy a usar una notación algo más convencional logx 9

Hay que recordar que si la base de logaritmos es b entonces las funciones

Logb x

b^x

Son inversas, es decir

b^(logb x) = x

luego

1) x^(logx 9) = x+1

9 = x+1

x=8

2) La ecuación del cambio de base de un logaritmo es:

loga b = logc b / logc a

Vamos a poner todo en logaritmos neperianos

logx 5 = log5 x

ln 5 / ln x = ln x / ln 5

ln 5 · ln 5 = ln x · ln x

(ln 5)^2 = (ln x)^2

ln x = +- ln 5

Si ln x = ln 5 tenemos x =5

Si ln x = -ln 5 ==> ln x = ln (1/5) ==> x = 1/5

Luego la respuesta es x=5 y x=1/5

3) Supongo que con L quieres decir cualquier logaritmo

L(-x^3+3x) = 3L(5-x)

Una propiedad de losa logaritmos es L(a^b) = b·L(a)

L(-x^3+3x) = L[(5-x)^3]

-x^3 + 3x = (5-x)^3

-x^3 + 3x = 125 - 75x + 15x^2 - x^3

15x^2 - 78x + 125 = 0

Y ahora se resuelve esta ecuación de segundo grado

$$\begin{align}&x=\frac{78\pm \sqrt{78^2-4·15·125}}{30}=\\ &\\ &\\ &\frac{78\pm \sqrt{-1416}}{30}\end{align}$$

No hay soluciones reales porque el discriminante es negativo.