Evaluación de una integral doble
saludos valeroasm. Tengo el siguiente ejercicio sobre integrales dobles pero no se como se resuelve, me parece muy complejo y no se como dibujar la región de integración. Creo que hay que hacer cambio de variables y hallar el jacobiano pero no se como se hace esto ayudame por favor. Lo que me piden es que evalúe la integral que aparece a continuación
valeroasm si te queda fácil tirarme un dibujo de la región créeme que lo entendería mas fácil. Muchas gracias por tu ayuda.
1 Respuesta
Es la integral
$$\begin{align}&4\iint_R \frac{\cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right)y^2e^{x^2y^2}}{e^{\frac{4y^2}{x^2}}-e}\\ &\\ &\text{R la región acotada por}\\ &y=x;\quad y=2x;\quad y=\frac 1x;\quad x=\sqrt 2\end{align}$$La región es esta:
Como puedes ver la región debes dividirla en dos trozos.
El trozo amarillo empieza en
1/x=2x
2x^2=1
x^2=1/2
x = 1/sqrt(2)
x=sqrt(2)/2
y termina en x=1
y las funciones que lo limitan son
y=1/x
y=2x
El trozo marrón empieza en x=1 y termina en x= sqrt(2)
y está limitado por las funciones
y=x
y=2x
Con esto son dos integrales
$$\begin{align}&4\int_{\sqrt 2/2}^1\int_{1/x}^{2x} \frac{\cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right)y^2e^{x^2y^2}}{e^{\frac{4y^2}{x^2}}-e}dydx+\\ &\\ &\\ &4\int_1^{\sqrt 2}\int_{x}^{2x} \frac{\cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right)y^2e^{x^2y^2}}{e^{\frac{4y^2}{x^2}}-e}dydx=\\ &\\ &\end{align}$$Y hasta aquí puedo llegar, mira a ver si te sirve para terminar con lo que sepas, porque yo creo que no puedo seguir.
valeroasm intente evaluarlas pero no me dio la respuesta; me dicen que la respuesta es
- 2/pi. por favor intentalo tu.ayudame con este que es el primero de todos seguramente entendiendo este se me hace mas fácil los demás.vale.
Dame tiempo. Yo no vi la forma de hacer esas integrales. Y con Máxima no salía respuesta y con Wolframalpha se sobrepasaba el tiempo de computación sin obtener respuesta. Luego la integral es bastante fuera de lo común o incluso inintegrable por funciones primitivas. Puede ser que necesite algún técnica especial para integrarla que os hayan enseñado o está en el libro.
Dime como la has intentado integrar y que sabes sobre esa integral. Porque ya te digo que para mi me parece imposible con lo que sé hacer de momento.
valeroasm me dijeron unos compañeros que había que hacer un cambio de variable haciendo u=xy y v y/x haciendo el cociente entre las 2 nuevas variables creo y hallar el jacobiano derivada parcial de (x,y)/derivada parcial de (u,v) y en base a esas variables u y v se hace una región a integrar no como la que tu tienes aquí, es rectangular, pero no me dieron mas detalles.
Los cambios de varias variables ya son materia superior. Voy a intentarlo
$$\begin{align}&u=xy\\ &v=\frac yx\\ &\\ &\frac uv =\frac{xy}{\frac yx}=x^2\implies x=\sqrt {\frac uv}\\ &\\ &uv= xy \frac yx=y^2\implies y=\sqrt{uv}\\ &\\ &\end{align}$$$$I=\begin{vmatrix}
\frac{\partial x}{\partial u}&\frac{\partial x}{\partial v}\\
\frac{\partial y}{\partial u}&\frac{\partial y}{\partial v}
\end{vmatrix}=
\begin{vmatrix}
\frac{1}{2 \sqrt{uv}}&\frac{-\sqrt u}{2v \sqrt v}\\
\frac{\sqrt v}{2 \sqrt u}&\frac{\sqrt u}{2 \sqrt v}
\end{vmatrix}=
\\
=\frac{\sqrt u}{4v \sqrt u}+\frac{\sqrt {uv}}{4v \sqrt{uv}}=\frac{1}{4v}+\frac{1}{4v}=\frac {1}{2v}$$Y ahora vamos a cambiar los limites de integración.
Trasformamos las funciones de x,y que limitaban el recinto a funciones de u,v
$$\begin{align}&y=\frac 1x\implies \sqrt{uv}=\frac{1}{\sqrt{\frac uv}}\implies u=1\\ &\\ &y=x \implies \sqrt{uv}=\sqrt{\frac uv}\implies v=1\\ &\\ &y=2x \implies \sqrt{uv}=2 \sqrt{\frac uv}\implies v=2\\ &\\ &x=\sqrt 2 \implies \sqrt{\frac uv}= \sqrt 2 \implies v=\frac u2\end{align}$$Primero voy a presentar la equivalencia con el dominio anterior pintando las funciones y areas con el mismo color
Vaya, podría haber puesto los ejes al reves y se vería mejor que se puede hacer todo en una integral. De todas formas se puede hacer, tomaremos la v como variabole independiente, asi la función que hace de límite de integración en vez de v=u/2 será u=2v. Estos son los límites del dominio tomado todo de una vez
v € [1,2]
u € [1, 2v]
$$\begin{align}&4\iint_R \frac{\cos\left(\frac{\pi y}{2x}\right)y^2e^{x^2y^2}}{e^{\frac{4y^2}{x^2}}-e}=\\ &\\ &u=xy \quad\quad v=\frac yx\quad \quad x^2=\frac uv \quad\quad y^2=uv\\ &\\ &Jacobiano = \frac{1}{2v}\\ &\\ &\\ &4\int_1^2\int_1^{2v} \;\;\frac{\cos \left(\frac{\pi v}{2}\right)u v e^{u^2}}{e^{4v^2}-e}·\frac{1}{2v}dudv =\\ &\\ &\int_1^2 \frac{\cos \left(\frac{\pi v}{2}\right)}{e^{4v^2}-e}\int_1^{2v}2ue^{u^2}dudv=\\ &\\ &\int_1^2 \frac{\cos \left(\frac{\pi v}{2}\right)}{e^{4v^2}-e}\left[e^{u^2} \right]_1^{2v}dv=\\ &\\ &\int_1^2 \frac{\cos \left(\frac{\pi v}{2}\right)}{e^{4v^2}-e}\left(e^{4v^2}-e \right)dv=\\ &\\ &\\ &\int_1^2 \cos \left(\frac{\pi v}{2}\right)dv=\left. \frac{2}{\pi}sen \left(\frac{\pi v}{2}\right)\right|_1^2=\\ &\\ &\frac{2}{\pi}\left[sen\pi-sen\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]=\frac{2}{\pi}(0-1)=-\frac{2}{\pi}\\ &\\ &\end{align}$$¡Uff, por fin!
En vez de sutituir y^2 por uv puse u/v y no había forma de sacarla, incluso hice un programa de integración númerica en el ordenador que me decía que la respuesta que decías era verdadera, luego tenia que llegar a ella. Hasta que no me di cuenta de ese fallo han pasado horas.
Y eso es todo.
