(1/2) e^3 - 1/4 = 9.7927768462
Contra la respuesta exacta que es
9.509664135013573
Pues no se puede decir que se hayan lucido mucho con la respuesta. No se como la habrán calculado porque puede haber cientos de truquillos, pero el que hayan empleado es muy malo.
Esta es la gráfica
Lo que más llama la atención es que se hayan pasado de largo porque la función es siempre cóncava (o convexa según otros) y tomando segmentos ente puntos de la gráfica su suma será siempre menor a la real.
Simplemente si tomamos en punto inicial y final tenemos
(1, 1/2) a (e, e^3/8 - 1/4)
sqrt[(e-1)^2 +(e^3/2-3/4)^2] = 9.450293018
Que ya es una aproximación mejor que la respuesta que te dan.
Si tomas un punto intermedio en =2 y sumas los dos segmentos te da
sqrt[(2-1)^2+(f(2)-f(1))^2] + sqrt[(e-2)^2+(f(e)-f(2))^2]
9.482900140884613
Hacíendolo con puntos en x=1, 1.5, 2 y e tenemos este resultado
9.500524190699164
Y si lo hiciésemos con más puntos intermedios llegaríamos a la respuesta que da Máxima o WolframAlpha.
Luego es incomprensible de donde han podido sacar esa respuesta tan mala.
Y eso es todo.