Ejercicio estimador método de momentos.
Hola, agradecería si me pudieran ayudar con este ejercicio:
Sean x1,...,x7 v.a. Independientes con distribución de Poisson de parámetro ? Desconocido. Calcule el estimador de ? Por el método de los momentos y compruebe su insesgadez y consistencia.
Encuentre el estimador propuesto para: 1,2,1,1,2,3,2.
Si tomo como estimador ?`=2 ¿dará igual?
Un saludo a todos los expertos
1 respuesta
Debemos igualar los primeros momentos (tantos como parámetros debemos estimar) de la muestra y de la variable aleatoria. El momento k-esimo de una muestra es el sumatorio de los valores elevados a la k entre n. Se forma así un sistema de ecuaciones y se despejan los parámetros.
En este caso solo hay que calcular un parametro.
El momento primero de la muestra es el sumatorio entre n y el momento primero de la variable Poisson es la media que es 1/lambda, igualando tenemos.
$$\begin{align}&\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \frac {1}{\lambda}\\ &\\ &\lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}\\ &\\ &\lambda = \frac{7}{1+2+1+1+2+3+2}=\frac{7}{12}\approx 0.58333...\end{align}$$Evidentemente no dará igual si tomas el estimador 2 cuando el verdadero es 0.58333
Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si no es así prugúntame, y si ya está bien no olvides puntuar.
Espera, no lo hice muy bien y se me olvidó contestar una cosa. No buscábamos lambda sino un estimador de lambda.
$$\begin{align}&\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n} = \frac {1}{\widehat \lambda}\\ &\\ &\widehat \lambda = \frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i}\\ &\\ &\widehat\lambda = \frac{7}{1+2+1+1+2+3+2}=\frac{7}{12}\approx 0.58333...\end{align}$$Y ahora hay que comprobar que es insesgado, o sea, que la esperanza del estimador es lambda
$$\begin{align}&E(\widehat \lambda) = \lambda\\ &\\ &E(\widehat \lambda) = E \left(\frac{n}{\sum_{i=1}^n X_i} \right)= E \left(\frac{1}{\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}} \right) =\\ &\\ &E \left(\frac{1}{\overline X} \right)= E\left(\frac{1}{\frac 1 \lambda} \right)= E(\lambda) = \lambda\\ &\\ &\end{align}$$Luego es insesgado.
Y ahora ya está todo.
