Anónimo
¿Ejercicio de derivadas de funciones por tramos?
Hola valeroasm como estas. Necesito de tu ayuda con este ejercicio de calculo diferencial, no se como resolverlo, serias tan amable de ayudarme. Dice así:
sea f la función definida por:
http://imageshack.us/photo/my-images/525/ddddxv.png/
pruebe que si g'(a) existe, entonces f es continua en a.
`por favor explícame paso a paso y de antemano muchas gracias.
sea f la función definida por:
http://imageshack.us/photo/my-images/525/ddddxv.png/
pruebe que si g'(a) existe, entonces f es continua en a.
`por favor explícame paso a paso y de antemano muchas gracias.
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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Escribo aquí la función que aparece en el link, convenientemente sustituida la variable equis por zeta ya que el corrector ortográfico de esta página no nos deja escribir equis. Agradecería que protestarais los usuarios. Yo ya me he cansado de mandar quejas pero no hacen p... caso.
f(z) = [g(z) - g(a)] / (z - a) si z <> a
g'(a) si z=a
f será continua en a si
lim z-->a de f(z) = f(a)
Dada la definición de f(z), lo que debe cumplirse es:
lim z-->a de f(z) = g´(a)
Por otro lado, una de las dos definiciones usuales de la derivada es esta:
g´(a) = lim z -->a de [g(z)-g(a)]/(z-a)
Y como nos dicen que g'(a) existe, lo que tenemos que demostrar es esto:
lim z-->a de f(z) = lim z -->a de [g(z)-g(a)] / (z-a)
El límite de una función en un punto se basa en la evaluación del valor de la función en los puntos próximos a ese punto
|f(z) - lim| < epsilon
pero prescindiendo precisamente del mismo punto z=a, por eso se pone
0 < |z-a| < delta
En la definición del límite.
Y si nos fijamos en la definición de f(z) tenemos fuera del punto z=a coinciden exactamente las dos funciones de las que tenemos que demostrar que tienen el mismo límite
f(z) = [g(z)-g(a)] /(z-a) si z<>a
luego dado un epsilon >0 se toma el mismo delta>0 en ambas funciones y coincidirán todas las evaluaciones necesarias para el cálculo del límite. Como el de la función de la derecha existe, existirá el de la izquierda y coincidirá con él, es decir:
lim z -->a de f(z) = g'(a)
Y con esto queda demostrado que f es continua en el punto a.
Y eso es todo.
f(z) = [g(z) - g(a)] / (z - a) si z <> a
g'(a) si z=a
f será continua en a si
lim z-->a de f(z) = f(a)
Dada la definición de f(z), lo que debe cumplirse es:
lim z-->a de f(z) = g´(a)
Por otro lado, una de las dos definiciones usuales de la derivada es esta:
g´(a) = lim z -->a de [g(z)-g(a)]/(z-a)
Y como nos dicen que g'(a) existe, lo que tenemos que demostrar es esto:
lim z-->a de f(z) = lim z -->a de [g(z)-g(a)] / (z-a)
El límite de una función en un punto se basa en la evaluación del valor de la función en los puntos próximos a ese punto
|f(z) - lim| < epsilon
pero prescindiendo precisamente del mismo punto z=a, por eso se pone
0 < |z-a| < delta
En la definición del límite.
Y si nos fijamos en la definición de f(z) tenemos fuera del punto z=a coinciden exactamente las dos funciones de las que tenemos que demostrar que tienen el mismo límite
f(z) = [g(z)-g(a)] /(z-a) si z<>a
luego dado un epsilon >0 se toma el mismo delta>0 en ambas funciones y coincidirán todas las evaluaciones necesarias para el cálculo del límite. Como el de la función de la derecha existe, existirá el de la izquierda y coincidirá con él, es decir:
lim z -->a de f(z) = g'(a)
Y con esto queda demostrado que f es continua en el punto a.
Y eso es todo.
pues valeroasm tu eres un genio muchas gracias por la explicación pero sabes no entendí la parte del delta y el epsilon podrías explicarme esa parte mas claro porque no entiendo esa definición de limite
muchas gracias
muchas gracias
La definición de límite es la siguiente:
lim z-->a de f(z) = L si y solo si
Para todo epsilon>0 existe un delta>0 tal que para todo z € Dom f y tal que 0<|z -a| < delta se cumple |f(z) - L| < epsilon.
Esa es la definición formal y desde luego que es un castigo para la gente corriente, pero es lo que hay.
Quiere decir que para cualquier número que nos den infinitamente pequeño encontraremos un entorno del punto donde la función y el límite estarán muy juntos, más que ese número tan pequeño que nos habían dado. Y cuando nos den otro epsilon aun más pequeño podremos tomar otro entorno en el que la diferencia entre la función y el límite sea menor que ese epsilon y así infinitas veces.
Se nos pide que encontremos ese delta tal que todos los puntos del entorno de radio delta salvo el propio punto
0<|z-a|<delta
cumplen
|f(z) - L| < epsilon.
Entonces por el hecho de que nos dicen que la función es derivable en a sabemos que existe el
lím z-->a de [g(z)-g(a)]/(z-a) = g'(a)
Y entonces para cualquier epsilon>0 podremos encontrar un delta tal que si
z € Dom f y 0<|z-a|<delta
se cumplirá
|(g(z)-g(a))/(z-a) - g'(a)| < epsilon
Pero si te fijas, ese valor absoluto coincide por la definición de f(z) con el de
|f(z)-g'(a)|
En ese mismo entorno ya que z=a esta excluido
Luego el mismo delta que nos servía para demostrar que g era derivable nos sirve para demostrar que el lim de f(z) cuando z-->a es g'(a). Como g'(a) = f(a) significa que lim f(z) cuando z-->a es f(a). Y esto último no es otra cosa mas que la condición de continuidad de f en el punto a.
Se que es lioso, pero es difícil explicarlo mejor sin estar presente la persona a la que se lo quieres enseñar respondiendo a sus dudas concretas al instante.
lim z-->a de f(z) = L si y solo si
Para todo epsilon>0 existe un delta>0 tal que para todo z € Dom f y tal que 0<|z -a| < delta se cumple |f(z) - L| < epsilon.
Esa es la definición formal y desde luego que es un castigo para la gente corriente, pero es lo que hay.
Quiere decir que para cualquier número que nos den infinitamente pequeño encontraremos un entorno del punto donde la función y el límite estarán muy juntos, más que ese número tan pequeño que nos habían dado. Y cuando nos den otro epsilon aun más pequeño podremos tomar otro entorno en el que la diferencia entre la función y el límite sea menor que ese epsilon y así infinitas veces.
Se nos pide que encontremos ese delta tal que todos los puntos del entorno de radio delta salvo el propio punto
0<|z-a|<delta
cumplen
|f(z) - L| < epsilon.
Entonces por el hecho de que nos dicen que la función es derivable en a sabemos que existe el
lím z-->a de [g(z)-g(a)]/(z-a) = g'(a)
Y entonces para cualquier epsilon>0 podremos encontrar un delta tal que si
z € Dom f y 0<|z-a|<delta
se cumplirá
|(g(z)-g(a))/(z-a) - g'(a)| < epsilon
Pero si te fijas, ese valor absoluto coincide por la definición de f(z) con el de
|f(z)-g'(a)|
En ese mismo entorno ya que z=a esta excluido
Luego el mismo delta que nos servía para demostrar que g era derivable nos sirve para demostrar que el lim de f(z) cuando z-->a es g'(a). Como g'(a) = f(a) significa que lim f(z) cuando z-->a es f(a). Y esto último no es otra cosa mas que la condición de continuidad de f en el punto a.
Se que es lioso, pero es difícil explicarlo mejor sin estar presente la persona a la que se lo quieres enseñar respondiendo a sus dudas concretas al instante.