Máximos y mínimos y gráfica de una función 4

El borde superior del cilindro tocará a la pared del cono, ya que si no lo hiciese no tendría el volumen máximo posible. Ello hace que haya una relación constante entre la altura que queda por encima del cilindro y el radio del cilindro, que es la tangente de la mitad del ángulo superior del cono

r / h = 2/9

Pero la altura que nos interesa es la del cilindro luego llamaremos h a 9-h y queda

r / (9-h) = 2/9

9r = 18 - 2h

2h = 18-9r

h = (18-9r)/2

La función volumen del cilindro es

V = Pi·r^2·h

sustituyendo h

V(r) = Pi·r^2·(18-9r) / 2 = (9/2)Pi(2r^2-r^3)

Derivamos respecto de r e igualamos a 0 para calcular los puntos críticos

V '(r) = (9/2)Pi(4r - 3r^2) = 0

4r - 3r^2 = 0

Tenemos una solución r=0. Pero si r=0 el área es 0 y no es la máxima posible

4 - 3r = =

3r=4

r=4/3

Geométricamente sabemos que ese punto no puede ser otra cosa que el máximo pero podemos comprobarlo con el criterio de la derivada segunda

V ''(r) = (9/2)Pi(4 -12r)

V ''(4/3) = 4 - 12·4/3 = 4 - 16 = -12

luego es un máximo.

Y una vez que conocemos r calculamos el volumen

V(r)=(9/2)Pi(2r^2-r^3)

V(4/3) = (9/2)Pi [2·(4/3)^2 - (4/3)^3] =

(9/2)Pi(32/9 - 64/27] =

(9/2)Pi(96-64)/27 =

(9/2)Pi(32/27) =

(16/3)Pi

Ese es el volumen máximo.

Y eso es todo.