Ayuda con Integrales por cambio de Variable y Potencias Trigonometricas!

Tienes que ver la similaridad entre lo que hay en el numerador y la derivada del radicando

La derivada de x^3 +3x es

3x^2 + 3

Que es tres veces el numerador. Luego si pones como cambio el radicando el numerador te lo podrás comer con el diferencial del cambio.

$$\begin{align}&\int \frac{x^2+1}{\sqrt{x^3+3x}}dx =\\ &\\ &t = x^3+3x\\ &\\ &dt = (3x^2+3)dx\implies (x^2+1)dx=\frac{dt}{3}\\ &\\ &=\int \frac{1}{\sqrt t}·\frac{dt}{3} =\frac 13\int \frac {dt}{\sqrt t}=\\ &\\ &\text{multiplicamos y dividimos por 2}\\ &\\ &=\frac 13·2\int \frac{dt}{2 \sqrt t}= \frac 23 \sqrt t +C=\\ &\\ &\\ &\frac{2 \sqrt{t^3+3t}}{3}+C\\ &\end{align}$$

En la otra tenemos que sacar un factor que sea la diferencial (salvo producto por una constante) del cambio que hagamos. Si hacemos el cambio

t=cosx

dt = -senx dx

Lo tenemos y nos sobra sen^4(x), pero eso lo podemos poner en función del coseno ya que sen^2(x) = 1-cos^2(x)

$$\begin{align}&\int sen^5x·\cos^2x\,dx =\\ &\\ &\int sen^4x·\cos^2x·senx \,dx=\\ &\\ &\int(1-\cos^2x)^2cos^2x·senx\, dx =\\ &\\ &\int(1-2cos^2x+\cos^4x)\cos^2x·senx \,dx =\\ &\\ &\int(\cos^2x-2cos^4x+\cos^6x)senx\,dx=\\ &\\ &t=cosx\\ &dt=-senx\,dx\\ &\\ &=-\int(t^2-2t^4+t^6)dt =\\ &\\ &-\frac{t^3}{3}+\frac{2t^5}{5}-\frac{t^7}{7}+C=\\ &\\ &-\frac{\cos^3x}{3}+\frac{2cos^5x}{5}-\frac{\cos^7x}{7}+C\end{align}$$

Y eso es todo.