Ayuda con esta inecuación ¡

Hay una raíz cuarta y otra cuadrada, son siempre positivas, luego si hay resultado, será siempre positivo. Entonces el único problemas que estén definidas las raíces, es decir que los radicandos sean positivos. Hallaremos ese conjunto solución en una y otra y la solución será la intersección de los dos conjuntos.

Para la raíz cuadrada debe ser x<=9

Para la raíz cuarta veamos algunos detalles, la segunda fracción es siempre positiva y la primera depende del signo de x.

Si x<0 tendremos fracción negativa - fracción positiva = negativo, no sirve

Luego x debe ser positivo y además debe ser positivo el primer numerador al menos

x · ||x| - 1| >= 12

Para que se cumpla eso debe ser x>=4

Y ahora sabiendo, que x >= 4 ya podemos definir los valores absolutos, donde el interior sea positivo se pondrá el interior y donde sea negativo se pondrá el opuesto del interior.

$$\begin{align}&\frac{x(x-1)-12}{x+3}-\frac{x-4}{x+3}=\\ &\\ &\text{El numerador es lo que interesa que sea positivo}\\ &\\ &x^2-x -12 -x+4 = \\ &\\ &x^2-2x-8>=0\\ &\\ &\text{Hallamos las raíces}\\ &\\ &x=\frac{2 \pm \sqrt{4+32}}{2}= \frac{2\pm 6}{2}= 4 \;y -3\end{align}$$

Es positiva o cero en los intervalos (-infinito, -3] y [4,+infinito). En (-3,4) es negativa

Y dentro de las positivas o cero solo nos sirve el intervalo [4,+infinito) ya que para llegar a esto hemos supuesto x>=4

Luego la raíz cuarta esta definida en [4, +infinito)

Y la raíz cuadrada estaba definida en (-infinito, 9]

Luego el conjunto solución es [4, 9]

Si acaso te explico como se eliminó el valor absoluto más complicado por si no entendiste lo que hice.

Como era x >=4

||1-x|-3|

1-x sera siempre negativo luego su valor absoluto será x-1 y queda

|x-1-3| = |x-4|

Y como x >= 4 lo de dentro es positivo y queda x-4

Y eso es todo.