Muestre que la siguiente serie es igual a ln( de la raíz séptima de ( 7 / (7 - x))

Vamos a ver si es verdad.

Partamos de esta serie del logaritmo que habrás dado en teoría

$$\begin{align}&ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n\\ &\\ &\text{Y vamos a ie modificando la que nos dan para asemejarla}\\ &\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{(n+1)7^{n+2}}=\\ &\\ &\\ &\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{7(n+1)}\left(\frac x7\right)^{n+1}=\\ &\\ &\text {Haremos una doble multiplicación por } (-1)^{n+1}\\ &\text{cuyo resultado es 1 y no modifica la serie}\\ &\\ &\frac 17\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}\left(- \frac x7\right)^{n+1}=\\ &\\ &\text {hagamos que comience con n=1, para ello hacemos}\\ &\text{el cambio de indice n=n+1, no es necesario cambiar de letra}\\ &\\ &\frac 17\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\left(- \frac x7\right)^{n}=\\ &\\ &\text {queda por ajustar un signo}\\ &\\ &-\frac 17\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\left(- \frac x7\right)^{n}=\\ &\\ &\text{y el sumatorio es la función } ln\left(1-\frac x7\right)\\ &\\ &-\frac 17ln\left(1-\frac x7\right)=\\ &\\ &-\frac 17ln\left(\frac {7-x}7\right)=\\ &\\ &ln\left[\left(\frac {7-x}7\right)^{-1/7}\right]=\\ &\\ &\\ &ln \sqrt[7]{\left(\frac{7-x}{7}  \right)^{-1}}=\\ &\\ &\\ &ln \sqrt[7]{\left(\frac{7}{7-x}  \right)}\\ &\\ &\\ &\\ &\end{align}$$

Y eso es todo, no sé si se verá bien que es una raíz séptima, pero por si no se distingue ya digo que es una raíz séptima.