Ecuaciones Diferenciales : Campos de dirección y existencia y unicidad
hola.
desearía que alguien me explique bien lo siguiente:
que significa el campo de dirección en una E.D.. Como hago para hallarlo?
y que quiere decir tendencia y unicidad o también llamado como existencia y unicidad.
muchas gracias por la ayuda ;)
1 respuesta
El campo de direcciones de una ecuación diferencial es un gráfico que nos ayuda a saber como es la solución de una ecuación diferencial
dy/dx = f(x,y)
Aunque no sepamos la solución exacta.
A traves de esa ecuación podemos conocer elñ valor dy/dx en cualquier punto (x, y). Y dy/dx es la tangente de la solución que pasa por ese punto, luego lo que hacemos es tomar puntos y dibujar en ellos un segmento cuya pendiente sea f(x, y). Estos segmentos nos irán dando la forma de la solución.
Por ejemplo, sea la ecuación diferencial
dy/dx = x+y
En (0,0) la función vale 0, trazaríamos el segmento horizontal cuya derivada es cero
En (0,1) la función vale 1, trazaríamos un segmento diagonal de 45º que es el correspondiente a la pendiente 1
En(-1,0) la función vale -1 y trazaríamos la diagonal pero la de ángulo -45º
Y bueno, trazando muchos segmentos se puede llegar a ver como son las soluciones.
Y el teorema de existencia y unicidad dice que si la función f(x, y) es continua y lipschitziana respecto de y entonces dado un punto (xo, yo) existe una solución única de la ecuación diferencial que pasa por ese punto. Bueno, las condiciones son más estrictas pero en esencia quiere decir eso, que hay una única curva del conjunto de soluciones que pasa por un punto dado.
